数学到底在干什么？

1. 数学是关于抽象的学问。具体地讲：数学首先负责在思维层面把人类对现实世界认知的共性抽象出来；然后在后期也可能直接发明抽象的概念、结构等。我们把数学上研究和处理的这些客体都叫做抽象对象。这些抽象对象，到目前为止符合绝大多数人类的认知，取得了广泛的共识。抽象的结果，包括数量（quantity）、形状（shape)、操作（operation）、结构（structure）、关系（relation），等等。可以看出，这些主题，已经touch到了哲学层面。

2. 数学发现和发明的逻辑是这样的：

第一条主线上，最初从自然界中得到启发抽象出一些共性的对象，包括最初始并不丰满的数量、形状、操作、关系、结构等等，然后意识到这些对象的“正确的”、“应该的”样子，然后意识到要用逻辑去把这些东西组织清楚，然后就可以用直觉和逻辑发现和发明更多的命题，与此同时在处理现实问题时只要与这些抽象对象对得上号那么就可以使用了（“抽”象“抽”象嘛），然后使用过程中发现有一些问题使用现有的数学仍然解决不了，于是再次开启思维发明模式，再次发现和发明抽象的对象（微积分是一个很好的例子），直到它好用了为止，以上都是应用主导的数学，目的是解决现实中存在的人类需要解决的问题。这是第一条主线，内容以应用数学为主（应用数学就是与解决实际问题最密切相关的这部分数学），以解决实际问题为导向。

第二条主线上，虽然之前使用数学确实解决了实际问题，但是数学家们关于数学本身仍然有疑问，所以数学还在刨根问底，在追求逻辑上的精确严密无漏洞（实数理论是一个很好的例子）。这样做肯定是十分有必要的。因为我们人类是在依赖逻辑思维去处理问题，我们认为逻辑思维是很靠得住的东西；并且数学不像物理可以在现实世界中做实验去验证规律，数学只能靠逻辑。所以，数学家们必须保证他们提出的东西真的是靠谱的，不然就真坑了。比如说，Newton和Lebniz大神各自提出了微积分方法，确实是很好用啊，以前解决不了的问题，比如切线斜率啊，瞬时变化率啊，边界值啊，曲线下面积啊，用微积分解决简直是手起刀落，结果跟现实符合得特别好，所以微积分显得特别好用。这是事实。但数学家们会怀疑了，“数轴”是个什么鬼？“连续”、“光滑”、“极限”这些概念到底是什么意思？更不用说历史上著名的“如幽灵一般”的“无穷小”了。注意我们上面提到了，数学家们要用逻辑把所提的概念组织清楚，要尽量能够说服自己，要push it to the limit。上面这些初始微积分的概念在当时无法澄清，就给微积分的理论蒙上了一层阴影。换句话说，逻辑上你就不太能说清楚微积分到底是个什么东西，或者说法就不太让人满意，感到理论有明显的不足，那这玩意到底靠不靠谱呢？只能说到目前为止解决一些实际问题确实是好用的，但理论基础感觉都不太牢固，谁能保证以后不出问题？就这样还能继续推广吗？所以，数学家们感觉到有强烈的愿望和动力，必须尝试将微积分的基础理论尽量完备化，使之再上一个台阶，达到人类暂时满意的程度。更别说，十八世纪非欧几何的出现，让数学家们意识到，原来直觉可以如此不靠谱！所以必须努力在逻辑上尽量把事情讲清楚。在寻求普遍规律（不管是数学规律还是物理规律）这件事上，到头来逻辑才是最靠得住。这是第二条主线，内容以应用数学的（尽量的）理论完备化为主，人类在解决实际问题时会对经过进一步完备的理论更有信心，也能更好地推广。目前我至少可以认识到这个层次了。但估计相当长的时间内还会停留在这里。

第三条主线大概是这样的。在第二条主线上，人类认识到了理论完备化的重要性。所以这回人类学聪明了，开始注重这件事，甚至开始完全脱离现实（至少是暂时的，在发明之时）创造自己的抽象数学对象和体系，并努力对其进行理论完备化。所以层次上升了。而至于这里提出的理论是否与现实有关，并不是一个确定的问题，随着时间推移很可能会变化的，比如闵式空间与广义相对论。我目前完全够不到这个层次，这是纯数学的事情，所以暂时还是不碰了……

以上三条主线，第一条叫做应用数学的提出与使用，第二条叫做应用数学的理论完备化，第三条叫做抽象数学的提出与理论完备化。

3. 我们已经知道物理知识是人类的一种尝试。而知道了以上这些，就会发现：原来数学也可以看作是人类的一种尝试，而不一定是什么确定的、先天的东西。