线段树学习(一)

　　看到UESTC的数据结构专题快要结束了，感觉自己真心浪费了好多时间，没有像鑫航学姐那样叮嘱的一样，紧紧的跟住训练。

所以下决心认认真真的开始学习下线段树的知识，以前对于线段树的学习都是一知半解的，就是说，我只知道线段树是用来单点更新和区间查值的，其实，线段树的功能远远不止这些。

　　先来说下，线段树是用来求解有关区间问题的绝逼法宝，为什么说绝逼呢。因为它能够在logn的时间内完成每次的查询。

查询的分类：

　　1.区间查询

　　-访问某段区间的某些性质(比如说，最大值，最小值，连续和，等等)

　　2.区间更新

　　-某些操作影响了某段区间(比如说，统一加一个值)

归于以上两个查询，我们总结出了线段树能够解决的以下三个问题.

　　-更新点，查询区间

　　-更新区间，查询点

　　-更新区间，查询区间

 

要想深入的理解线段树，我们从一个比较经典的例子开始了解吧。

我现在有一个长度为 n的一维数组(a[1]~a[n])

我们每次对这个数组只允许有以下的操作:

~1.修改数组中某个元素的值

   - [1,5,4,1,6]  ---(a[2] = 3)---[1,3,4,1,6]

~2.询问数组中某段区间的最大值

   -[1,5,4,1,6]   ---(max(1,4)=?) ---> 5

~3.询问数组中某段区间的和

　-[1,5,4,1,6]  ---(sum(3,5)=?) ---> 11

 

　　在没有知道线段树之前，我们知道，要对一个数组进行这样的操作是很简单的每次只要O(n)的时间扫一遍就是可以得到各种询问的ans的。

那么，如果我要进行Q次询问该怎么办呢？这样的话就变成了O(nQ)的复杂度了，，擦，，这也太慢了吧，随便给你一组数据，你就T了

所以，为了在更快的时间里解决这些查询问题，我们引入了一个叫做线段树的数据结构,线段树就是一个能在logn的时间内完成每次操作。

线段树的本质是一棵二叉树，不同于一般的二叉树来说，线段树的每个节点维护的都是一段区间的信息。

比如下面这个二叉树，对于一个长度为5的数组a[1]~a[5]

　　　　　　　[1,.5]

　　　　[1,3]    　　[4,5]

　　[1,2]   [3,3]   [4,4]  [5,5]                          对于这个树的构建有几点说明，对于任意一个非叶子节点来说，如果它所维护的区间是[l,r]的话，它的左儿子区

 

[1,1]   [2,2]　　　　　　　　　　　　　　　　间就是[l,(l+r)/2], 右儿子区间就是[(l+r)/2+1,r];

 

线段树      ---实现

每个节点记录的信息

1 struct Segtree

2 {

3     int left,right;//区间的端点

4     int mx,mn;//区间内的最大值和最小值

5     int sum;//区间内元素的总和

6 }tree[MAX*4];

　　我们先用一个数组a[]来记录节点，并且根节点的下标为1，然后，对于任意一个节点来说a[k]来说，他的左儿子是a[k<<1],右儿子是a[k<<1|1]

建立一棵线段树代码实现

void build ( int id,int l,int r )

{

    tree[id].left = l; tree[id].right = r;

    if ( l==r )

    {

        tree[id].sum = tree[id<<1].sum+tree[id<<1|1].sum;

        tree[id].mx = max(tree[id<<1].mx,tree[id<<1|1].mx);

        tree[id].mn = min(tree[id<<1].mn,tree[id<<1|1].mn);

    }

    else

    {

        int mid = (l+r)>>1;

        build(id<<1,l,mid);

        build(id<<1|1,mid+1,r);

        tree[id].sum = tree[id<<1].sum+tree[id<<1|1].sum;

        tree[id].mx = max(tree[id<<1].mx,tree[id<<1|1].mx);

        tree[id].mn = min(tree[id<<1].,mn,tree[id<<1|1].mn);

    }

}