【统计学习方法】学习笔记-第3章-k近邻法

(知乎:https://zhuanlan.zhihu.com/p/314613894)

• k近邻法(k-nearest neighbor,k-NN)是一种基本分类和回归方法（这里讨论分类），对于新的实例，根据其k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式预测。k近邻不具有显式的学习过程，是利用训练数据对特征空间进行划分，作为分类模型。k近邻法的三个基本要素——k值选择、距离度量、分类决策规则。

3.1 k近邻算法

【算法3.1（k近邻法）】

1. 当k=1时的特殊情况，称为最近邻算法。

3.2 k近邻模型

1. k近邻法使用的模型实际上对应于对特征空间的划分，模型由三个基本要素决定——距离度量、k值选择、分类决策规则
2. k近邻法中，当训练集、距离度量、k值、分类决策规则确定后，对于任一新的实例，其所属类别唯一确定。
3. k近邻模型的距离度量一般使用欧式距离，也可以是更一般的$L_p$距离或Minkowski距离，设特征空间$\mathcal{X}$是$n$维实数向量空间${\mathrm{R}}^n$，$x_i,x_j\in \mathcal{X}$，$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)}{)}^T,x_j=(x_j^{(1)},x_j^{(2)},...,x_j^{(n)}{)}^T$，则$x_i,x_j$的$L_p$距离定义为：

$$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}},p\ge 1$$

• p=2时，为欧氏距离(Euclidean distance)

$$L_2(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

• p=1时，为曼哈顿距离(Manhattan distance)

$$L_2(x_i,x_j)=\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$

• p=∞时，是各个坐标距离的最大值

$$L_{\infty }(x_i,x_j)=\underset{l}{\max }|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$

4. k值选择对k近邻法的结果有较大影响，较小的k值相当于用小邻域预测，学习的近似误差会减小，估计误差会增大，预测结果对邻近实例点非常敏感，即k值的减小意味着整体模型变复杂，容易过拟合；较大的k值相当于用大邻域预测，会减少估计误差，增大近似误差，整体模型变简单。

5. 一般用交叉验证法选择最优k值

6. k近邻法的分类决策规则通常是多数表决规则(majority voting rule)，多数表决规则等价于经验风险最小化

• 假定分类的损失函数为0-1损失函数，分类函数为$f:{\mathrm{R}}^n\to \{c_1,c_2,...,c_K\}$
• 误分类概率为$P(Y\ne f(X))=1-P(Y=f(X))$
• 对于实例$x\in \mathcal{X}$，其最近邻k个训练实例构成集合$N_k(x)$，若涵盖$N_k(x)$的区域类别是$c_j$，则误分类率为

$$\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i\ne c_j)=1-\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j)$$

• 使误分类率最小即经验风险最小，要使${\sum }_{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j)$最大

3.3 k近邻法的实现:kd树

1. kd树(kd tree)是一种对k维空间中实例点进行存储以便进行快速检索的树形结构，是一个二叉树，表示对k维空间的一个划分(partition)。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列k维超矩形区域，kd树每个结点对应于一个k维超矩形区域。

【算法3.2（构造平衡kd树）】

• kd树是存储k维空间数据的树结构
• 根结点包含k维空间所有实例
• 依次选择坐标轴做空间切分，选择训练实例点在选定轴上的中位数点切分，此时kd树是平衡的，平衡的kd树搜索时效率未必最优

2. 例：给定二维空间数据集，构造平衡kd树

$$T=\{(2,3{)}^T,(5,4{)}^T,(9,6{)}^T,(4,7{)}^T,(8,1{)}^T,(7,2{)}^T\}$$

【算法3.3（用kd树的最近邻搜索）】

• kd树搜索最近邻：①找到该目标点的叶结点；②从叶结点出发，依次回退到父结点；③每次在父结点和另一子结点上找最近邻。③不断查找与目标最邻近的结点，直到确定不可能存在更近结点终止。

• 目标点的最近邻，一定在以目标点为中心并通过当前最近点的超球体内部

• 如果实例点随机分布，kd树搜索的平均计算复杂度是O(logN)，kd树更适用于训练实例树远大于空间维度时的k近邻搜索。

代码复现

数据

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter

# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

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sklearn

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
clf = KNeighborsClassifier()
clf.fit(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)
# 0.95

knn遍历方法

class myKNN:
    def __init__(self,X_train,y_train,k=3,p=2):
        '''
        X_train,y_train,训练数据集
        k:K值
        p:距离度量
        '''
        self.k=k
        self.p=p
        self.X_train=X_train
        self.y_train=y_train
    def predict(self,X):
        # 取距离最小的k个点：先取前k个，然后遍历替换
        # knn_list存“距离”和“label”
        knn_list=[]
        for i in range(self.k):
            dist=np.linalg.norm(X-self.X_train[i],ord=self.p)
            knn_list.append((dist,self.y_train[i]))
        for i in range(self.k,len(self.X_train)):
            max_index=np.argmax([x[0] for x in knn_list])
            dist=np.linalg.norm(X-self.X_train[i],ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0]>dist:
                knn_list[max_index]=(dist,self.y_train[i])
        # 聚合k近邻
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
        max_label = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]
        return max_label
    
    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)
      
clf = myKNN(X_train, y_train,3)
clf.score(X_test,y_test)

kd-tree

树构建

# 1. 定义树结点=(结点样本，分裂维度，左子树，右子树)
# 2. 顺序寻找分裂维度和分裂点
# 3. 递归分裂
class KdNode(object):
    def __init__(self,value,split,left,right):
        self.value=value #结点存储的样本，k维向量
        self.split=split #分裂维度
        self.left=left   #左子树
        self.right=right #右子树
class KdTree(object):
    def __init__(self,data):
        k=data.shape[-1] #特征维度
        
        # 在split维切分数据集data_set
        def CreateNode(split,data_set):
            if len(data_set)==0:
                return None
            # 确定分裂值，和下一个分裂维度
            data_set=sorted(data_set,key=lambda x:x[split])
            split_index=len(data_set)//2
            split_value=data_set[split_index]
            split_next=(split+1)%k
            # 递归
            return KdNode(
                split_value
                ,split
                ,CreateNode(split_next,data_set[:split_index])
                ,CreateNode(split_next,data_set[split_index+1:])
            )
        
        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
        
# KDTree的前序遍历，用于验证树构建的对不对
def preorder(root):
    print(root.value)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)
        
data = np.array([[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]])
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)

#OUTPUT:
#[7 2]
#[5 4]
#[2 3]
#[4 7]
#[9 6]
#[8 1]

树搜索

# 最近邻搜索。对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple
# 定义一个namedtuple,具名元组,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
                    "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")

def find_nearest(kd_tree,point):
    k=len(point) # 特征维度
    
    def travel(kd_node,target,max_dist):
        '''
        输入：当前节点、目标点、目前最小距离
        输出：最近结点、距离、已访问点数
        备注：当前节点=分裂点，输出为当前节点构成的tree中最近的点是哪个
        '''
        # 如果当前节点为空节点，则返回距离inf
        if not kd_node:
            return result([0]*k,np.inf,0)
        # 每一步这里为判定当前要分到哪个分支
        nodes_visited=1
        node_split=kd_node.split
        node_value=kd_node.value
        if target[node_split]<=node_value[node_split]:
            nearer_node = kd_node.left  # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:
            nearer_node=kd_node.right
            further_node=kd_node.left
        
        # 在被分的分支中，最近节点是哪个，距离多少（递归下探到叶子节点）
        temp1=travel(nearer_node,target,max_dist)
        # 取搜索到的最近点
        nearest=temp1.nearest_point
        dist=temp1.nearest_dist
        nodes_visited+=temp1.nodes_visited
        # 若搜索到的最近点比当前最小距离还小，则用该点的距离做超球体半径
        if dist<max_dist:
            max_dist=dist
            
        # ①计算目标点到当前点截面的距离，即超球体和分割超平面是否相交
        dist_split_plane=abs(node_value[node_split]-target[node_split])
        # 若不相交，结束返回
        if max_dist<dist_split_plane:
            return result(nearest,dist,nodes_visited)
        # ②计算目标点与当前点(分割点)的距离，如果更近，用这个
        dist_split_point = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(node_value, target)))
        if dist_split_point < dist:  # 如果“更近”
            nearest = node_value  # 更新最近点
            dist = dist_split_point  # 更新最近距离
            max_dist = dist  # 更新超球体半径
        # ③检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)
        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:  # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist  # 更新最近距离

        return result(nearest, dist, nodes_visited)
    return travel(kd_tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归ret = find_nearest(kd, [3,4.5])

ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

# Result_tuple(nearest_point=array([2, 3]), nearest_dist=1.8027756377319946, nodes_visited=4)