基于奇异值分解的图像压缩和信息隐藏

基于奇异值分解的图像压缩和信息隐藏

将图像进行奇异值分解后，通过对对角矩阵进行一系列操作，可以达到压缩图像以及信息隐藏的目的。不仅如此，随着计算机网络和网络技术的不断发展，数字图像、音频和视频产品越来越需要一种有效的版权保护方案。利用奇异值分解实现数字图像水印技术，将水印图片置乱再隐写入图像的方法可以在一定程度上避免被破译；为了进一步防止破译，结合离散余弦变化以及奇异值分解的数字水印技术更加安全。

基于奇异值分解的图像压缩

灰度图

一张灰度图是由m*n的矩阵构成的，矩阵的每一个元素是处于0～255的整数，每一个元素就代表着对应像素点的灰度。而一张彩色图像可以转化为灰度图rgb2gray()，即一个非负矩阵A。

奇异值分解

奇异值分解svd()可以理解为利用正交向量的性质，将矩阵A包含的**“信息空间”分解为r个相互正交的“子信息空间”，每一个“子信息空间”中都包含了一定的原图像信息。相应的，删除k个“子信息空间”可以达到降维的目的，k取合适的值时，人类肉眼无法清楚分辨是否有信息损失，就可以达到兼顾保留图像信息和压缩图像文件大小**的目的。

矩阵A的奇异值分解定义如下：
$$A=US{V}^T$$
具体步骤是：

• 奇异值分解矩阵A，得到正交矩阵U、V和对角矩阵S
• 取出矩阵U、V的前k行数据，构成$U_1,V_1$，S化为**$k\times k$的对角矩阵**$S_1$。

$$A_1=U_1{S}_1{V}_1^T$$

clear;
% 使用SVD压缩图像
%% k=1000
k = 1000;
img = double(rgb2gray(imread("Always like this.png")));
[U, S, V] = svd(img);
U_1 = U(:, 1:k);
SS = diag(S);
SSS = SS(1:k);
S_1 = diag(SSS);
V_1 = V(:, 1:k);
img_1000 = U_1*S_1*V_1';
figure(1);
subplot(1, 3, 1);
imshow(mat2gray(img_1000));
title('k=1000');
%% k=100
k = 100;
U_2 = U(:, 1:k);
SSS = SS(1:k);
S_2 = diag(SSS);
V_2 = V(:, 1:k);
img_100 = U_2*S_2*V_2';
subplot(1, 3, 2);
imshow(mat2gray(img_100));
title('k=100');
%% k=50
k = 50;
U_3 = U(:, 1:k);
SSS = SS(1:k);
S_3 = diag(SSS);
V_3 = V(:, 1:k);
img_50 = U_3*S_3*V_3';
subplot(1, 3, 3);
imshow(mat2gray(img_50));
title('k=50');

代码运行结果：

基于奇异值分解的数字图像水印

将SVD应用于数字图像水印技术的主要理论背景是：

1. 图像的奇异值稳定性非常好，即当图像被施加小的扰动时，图像的奇异值不会有太大的变化；
2. 奇异值所表现的是图像的内蕴特性而非视觉特性。

具体步骤：

• 将图像A奇异值分解，得到$ U、S、V $
• 将水印$ W\in R_{n\times n} $叠加到对角矩阵$ S $ 上，$ S+ \alpha W $
• 对$ S+ \alpha W $进行奇异值分解，得到$ U, S_1, V_1^T $
• 将$ U, S_1, V^T $相乘，就可以得到包含水印的图像

$$A=>US{V}^T$$

$$S+\alpha W=>U_1{S}_1{V}_1^T$$

$$\hat{A}=U{S}_1{V}^T$$

如果想要提取水印，则只需要进行简单的求逆，再次不多赘述。

生成水印图

此处的水印图我使用的是二维码，采用Python中qrcode库生成。

import qrcode
qr = qrcode.QRCode(
    version = 2,
    box_size = 8,
    border = 0
)
qr.make('Life is fantastic')
img = qr.make_image();
with open('watermark.png', 'wb') as f:
    img.save(f)

Arnold置乱

Arnold置乱（也称作cat置乱）可以对图像进行置乱，使得原本有意义的图像变成一张无意义的图像。其矩阵变换公式是：
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)mod(N)$$
其中mod是取模运算，N是正方形图像的边长，$(x_1,y_1)$是$(x,y)$变换之后的坐标位置。

对于图像而言，这里的位置移动，实际上是对应点的灰度值或者RGB值的移动，即将原来$(x,y)$的灰度值或者RGB颜色分量移动到$(x_1,y_1)$如果对一个数字图像迭代地使用离散化的Arnold变换，即将左端输出的$(x_1,y_1)$作为下一次Arnold变换的输入，则可以重复这个过程一直做下去。当迭代到某一步时，如果出现的图像呈现出杂乱无章、无法辨识的情况，那么就得到了一幅置乱图。

相应的反变换公式如下：
$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)mod(N)$$

水印插入

为了提高加密程度，我们在插入水印之前先对水印图像进行预处理，即对它进行Arnold置乱，然后再执行基于奇异值分解的数字水印插入。

clear;
%% 图片预处理以及将水印图片加密进目标图片
% 首先将目标图像转化为灰度图
img = imread('Always like this.png');
watermark = double(imread('watermark.jpg'));
img_grayed = double(rgb2gray(img));
imwrite(uint8(img_grayed), 'AlwaysLikeThis_grayed.jpg');
figure(1);
subplot(2, 3, 1);
imshow(uint8(img_grayed));
title("原始图像");
subplot(2, 3, 2);
imshow(watermark);
title("原始水印");
key = 10; % key是对watermark进行Arnold置乱的次数
a = 3;b = 5;
[prow, pcol] = size(img_grayed);
[wrow, wcol] = size(watermark);
% 进行arnold置乱
watermark_arnolded = zeros(wrow, wcol);
for i = 1:key
    for y = 1:wrow
        for x = 1:wcol
            xx = mod((x-1)+b*(y-1), wrow)+1;
            yy = mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1), wrow)+1;
            watermark_arnolded(yy, xx) = watermark(y, x);
        end
    end 
    watermark = watermark_arnolded;
end 
subplot(2, 3, 3);
imshow(watermark_arnolded);
title("arnold置乱后的watermark");
% 对原始图像进行奇异值分解
[U, S, V] = svd(img_grayed);
S_copy = S;
alpha = 0.1; % 叠加强度
for i = 1:wrow
    for j = 1:wcol
        S(i, j) = S(i, j) + alpha * watermark_arnolded(i, j);
    end
end
[U_1, S_1, V_1] = svd(S);
img_watered = U*S_1*V';
subplot(2, 3, 4);
imshow(uint8(img_watered));
title("添加水印的图像");
%% 将水印图片提取
[U_2, S_2, V_2] = svd(img_watered);
D = U_1 * S_2 * V_1';
watermark_res = zeros(wrow, wcol);
for i = 1:wrow
    for j = 1:wcol
        watermark_res(i, j) = (1/alpha)*(D(i, j) - S_copy(i, j));
    end 
end
subplot(2, 3, 5);
imshow(watermark_res);
title('提取出的watermark');
% 还原watermark
watermark_recovery = zeros(wrow, wcol);
for i = 1:key
    for y = 1:wrow
        for x = 1:wcol
            xx=mod((a*b+1)*(x-1)-b*(y-1), wrow)+1;
            yy=mod(-a*(x-1)+(y-1), wrow)+1;
            watermark_recovery(yy, xx) = watermark_res(y, x);
        end
    end 
    watermark_res = watermark_recovery;
end
subplot(2, 3, 6);
imshow(watermark_recovery);
title("还原提取出的watermark");

代码运行结果：

基于离散余弦变换和奇异值分解的数字水印技术

离散余弦变换（DCT）

离散余弦变换 DCT是数据通信中最常用到的 变换编码的方法。图像经过DCT变换后其系数有较 好的感觉容量，利用此特点可以将水印信息嵌入到 DCT系数中，而不会引起图像质量的较大改变。

DCT系数分为直流分量和交流分量。直流分量 代表图像的亮度值，交流分量又分为高频带，中频带 和低频带。高频系数一般很小，人眼对高频部分失真 不太敏感，在图像做Jpeg等压缩处理时会将高频部分 舍弃，若在高频嵌入水印鲁棒性会降低，所以一般选 择将水印嵌入低频中。低频是数据块中能量集中区 域，也就是说经过DCT变换后，图像的大部分重要信 息都集中在DCT的低频系数里，所以在嵌入水印是 要控制好强度否则会造成图像质量下降。

二维离散余弦变换公式：
$$\begin{gathered} F(u,v)=c(u)c(v)\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)cos(\frac{2x+1}{2N}u\pi )cos(\frac{2y+1}{2N}v\pi )x,y,u,v=0,1,...,N-1 \\ c(u)=c(v)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}u=0,v=0\\ 1其他\end{array} \end{gathered}$$
二维离散余弦逆变换公式：
$$\begin{gathered} f(x,y)=\frac{2}{N}\sum _{u=0}^{N-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)cos(\frac{2x+1}{2N}u\pi )cos(\frac{2y+1}{2N}v\pi )x,y,u,v=0,1,...,N-1 \\ c(u)=c(v)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}u=0,v=0\\ 1其他\end{array} \end{gathered}$$
其中$F(u,v)$为频域函数，$f(u,v)$为空域函数。

算法思路

水印嵌入算法

下列为$m\times n$的灰度图原始载体图像和$k\times h$的二值水印图像的水印嵌入过程。

1. 将水印图像n次置乱处理得到置乱后的水印 矩阵$W_0$.
2. 将 载 体 图 像分 为$k\times h$个 子 块 ，对 每 个 子 块 做 DCT 变换，得到每个子块的DCT系数矩阵$C\{i,j\}$，$i、j$ 表示第i行第j列的子块，$1\le i\le m,1\le j\le n$.
3. 对每个子块$C\{i,j\}$做奇异值分解$C\{i,j\}=US{V}^T$， 得到$U,S,V$.
4. 取一常数$q$作为嵌入系数，将$S$中的第一项$S(1,1)$与$q$相除得到的余数为$z$。若$W_0(i,j)$的值为1，则将$S(1,1)$修改成$S(1,1)-z+q$；若$W_0(i,j)$值 为0，则$S(1,1)$变为$S(1,1)-z+0.5q$.
5. 用水印信息修改后$S^{\prime }$构造新的矩阵$C\{i,j\}=U{S}^{\prime }{V}^T$.
6. 将每个新修改的$C\{i,j\}$分别做DCT逆变换，再合并为一个整图，即得到嵌入水印的新图像。

水印提取算法

1. 将嵌入水印的图像分成$k\times h$个子块并对每个子块做DTC变换，得到每个子块DCT系数$C^{{}^{\prime \prime }}\{i,j\}$， $1\le i\le m,1\le j\le n$;
2. 对每个子块$C{i}^{\prime \prime }$进行奇异值分解，$C^{{}^{\prime \prime }}\{i,j\}=U^{\prime \prime }{S}^{\prime \prime }{V}^{\prime \prime T}$，得到$S^{\prime \prime }$.
3. 比较$S^{\prime \prime }(1,1)$与嵌入系数q的大小，若比0大，则提取水印矩阵$W_0^{\prime }=0$，否则$W_0^{\prime }=1$.
4. 对提取的$W_0^{\prime }$进行反置乱，即得到提取出的水印图像。

代码实现

下面代码的重要前提条件是：载体图像的长宽能被水印图像的长宽整除，否则就会出现bug。

clear;
img = imread("Always like this.png");
watermark = double(imread('watermark.png'));
img_grayed = double(rgb2gray(img));
key = 10; % key是对watermark进行Arnold置乱的次数
a = 1;b = 1;
[prow, pcol] = size(img_grayed);
[wrow, wcol] = size(watermark);
% 进行arnold置乱
watermark_arnolded = zeros(wrow, wcol);
for i = 1:key
    for y = 1:wrow
        for x = 1:wcol
            xx = mod((x-1)+b*(y-1), wrow)+1;
            yy = mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1), wrow)+1;
            watermark_arnolded(yy, xx) = watermark(y, x);
        end
    end 
    watermark = watermark_arnolded;
end 
%% 嵌入水印
img_block = mat2cell(img_grayed, (prow/wrow)*ones(1, wrow), (pcol/wcol)*ones(1, wcol));
q = 0.5;
img_res = zeros(prow, pcol);
for i = 1:wrow
    for j = 1:wcol
        temp_matrix = dct2(cell2mat(img_block(i, j)));
        [U, S, V] = svd(temp_matrix);
        z = rem(S(1, 1), q);
        if watermark_arnolded(i, j) == 1
            S(1, 1) = S(1, 1)-z+q;
        elseif watermark_arnolded(i, j) == 0
            S(1, 1) = S(1, 1)-z+0.5*q;
        end
        temp_matrix = U*S*V';
        temp_matrix = idct2(temp_matrix);
        for k = 1:(prow/wrow)
            for h = 1:(pcol/wcol)
                img_res((i-1)*(prow/wrow)+k, (j-1)*(pcol/wcol)+h) = temp_matrix(k, h);
            end
        end
    end
end
subplot(1, 3, 1);
imshow(uint8(img_res));
title('加入水印后的图像') ;
%% 对水印进行提取
img_block = mat2cell(img_res, (prow/wrow)*ones(1, wrow), (pcol/wcol)*ones(1, wcol));
watermark_recovery = zeros(wrow, wcol);
for i = 1:wrow
    for j=1:wcol
        temp_matrix = cell2mat(img_block(i, j));
        temp_matrix = dct2(temp_matrix);
        [U, S, V] = svd(temp_matrix);
        if rem(S(1, 1), q) > 0
            watermark_recovery(i, j) = 0;
        else
            watermark_recovery(i, j) = 1;
        end
    end
end
subplot(1, 3, 2);
imshow(watermark_recovery);
title('提取出的水印图像');
%% 对水印反置乱
a = 1;b = 1;
key = 10;
watermark_res = zeros(wrow, wcol);
for i = 1:key
    for y = 1:wrow
        for x = 1:wcol
            xx=mod((a*b+1)*(x-1)-b*(y-1), wrow)+1;
            yy=mod(-a*(x-1)+(y-1), wrow)+1;
            watermark_res(yy, xx) = watermark_recovery(y, x);
        end
    end 
    watermark_recovery = watermark_res;
end
figure(3);
imshow(watermark_res);
title('反置乱之后的水印图像');

运行结果

可以看到反置乱之后的水印充满各种噪点，经过python.cv2简单降噪之后手机仍然无法识别二维码，噪点出现的原因暂时不知道。（以后可能会解决？）

参考文献

[1]刘瑞祯,谭铁牛.基于奇异值分解的数字图像水印方法[J].电子学报,2001(02):168-171.

[2]丁珊,张定会,周雄葵.一种基于离散余弦变化和奇异值分解的数字水印算法[J].数据通信,2015(04):51-54.