CodeForces 146E - Lucky Subsequence DP+扩展欧几里德求逆元

   题意:

             一个数只含有4,7就是lucky数...现在有一串长度为n的数...问这列数有多少个长度为k子串..这些子串不含两个相同的lucky数...

             子串的定义..是从这列数中选出的数..只要序号不同..就不不同的串..如 1 1 的长度为1的子串有两个

   题解:

            解题前可以先求一下1000000000内有多少个数是lucky的...可以递推的求..也可以暴力求~~可以看出最多1022个lucky数..很少...

            现将这堆数的所有lucky数找出来...把相同的放在一个lucky数里计数...

            dp[ i ] [ k ] 代表到了第i个lucky数..选了k个lucky数的方案总数...

            dp全部处理完后统计答案:

                            ans= sigma ( dp [ last ] [ i ]  + C ( 非lucky数个数 ) ( n-i ) )  , ( 0<=i<=这堆数中lucky数总数 )      C求组合数

            那么现在的关键是求C ( a, b) 了..有题目数据可知...a,b都可能达到10^5...如果用传统的递推: C( i , j )=C( i-1 , j )+C( i-1 , j-1 ) 是会爆空间+爆时间的...

            要求C ( a, b )只能用数学知识了...

            C( a, b ) =  a! / (b!*(a-b)!)  可以先把n!打个表出来.所有的阶乘就可以直接的取...问题进一步简化为求 ( a / b ) % 1000000007

            如果a,b分别取模计算..是错误的...只能 a * (b的逆元) % 1000000007 

            这里所说的b你逆元,实质上是在模1000000007系统中b的逆元..也就是(b*x)%1000000007=1

            问题再简化...求b的逆元....两种思路...

            1、费马小定理

                        根据费马小定理 ( a^(p-1) ) % p = 1 当p是质数并且a不是p的倍数....而题目给的1000000007就是一个质数..所以对于任意一个非p倍数的数有 

                       ( a * (a^(p-2) ) % p =1 ..所以 a^(p-2) 就是 a的逆元...用快速幂取模求出即可

            2、扩展欧几里德

                       ax+by = gcd(a,b) 扩展欧几里得就是来求满足条件的一组x,y的...

                       令x为a的逆元...p为要模的数...根据逆元的定义有 ( a*x ) %p=1....可以理解为 a*x - p*y = 1 , 其中y为整数.

                       又有 gcd (a,p) = 1..那么 a*x - p*y = gcd (a,p) ..这样就成了拓展欧几里得的形式了..求出x即可

            总的来说..费马小定理来得方便...但扩展欧几里德的应用范围更广

Program:

 

#include<iostream>

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<cmath>

#include<queue>

#include<stack>

#include<set>

#include<algorithm>

#define ll long long

#define oo 1000000007

#define pi acos(-1.0)

#define MAXN 1200

using namespace std;

int n,k,temp[100005],m;

ll lucky[MAXN],dp[MAXN][MAXN],factorial[100005];

bool IsLucky(int x)

{

       while (x)

       {

              if (x%10!=4 && x%10!=7) return false;

              x/=10;

       }

       return true;

}

void PreWork()

{

       factorial[0]=1;

       for (ll i=1;i<=100000;i++) factorial[i]=(factorial[i-1]*i)%oo;

       return;

}

void Ex_Gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)

{

       if (b==0)

       {

             x=1,y=0;

             return;

       }

       Ex_Gcd(b,a%b,x,y);

       ll t;

       t=x,x=y,y=t-a/b*y;

       return;

}

ll C(ll a,ll b)

{

       ll x,y;

       if (b>a) return 0;

       b=(factorial[b]*factorial[a-b])%oo;

       a=factorial[a];

       Ex_Gcd(b,oo,x,y);

       a=(a*x)%oo;

       if (a<0) a+=oo;

       return a;

}

int main()

{

       PreWork();

       int i,j,num;

       ll ans; 

       while (~scanf("%d%d",&n,&k))

       {

              m=0;

              for (i=1;i<=n;i++)

              {

                     int x;

                     scanf("%d",&x);

                     if (IsLucky(x)) temp[++m]=x;

              }

              sort(temp+1,temp+1+m);

              temp[0]=num=0;

              for (i=1;i<=m;i++)

                 if (temp[i]!=temp[i-1]) lucky[++num]=1;

                     else lucky[num]++;

              memset(dp,0,sizeof(dp));

              for (i=0;i<=num;i++) dp[i][0]=1;

              for (i=1;i<=num;i++)

                 for (j=1;j<=i;j++)

                      dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*lucky[i])%oo;

              ans=0;

              for (i=0;i<=min(k,m);i++) 

                ans=(ans+dp[num][i]*C(n-m,k-i))%oo;

              printf("%I64d\n",ans);

       }

       return 0;

}