MIT线性代数笔记八 求解 Ax=b: 可解性与结构
文章目录
- 1. 可解的条件 Solvability conditions on b
- 2. 特解 A particular solution
- 3. 通解 Complete solution
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- 3.1 与零空间进行线性组合 Combined with nullspace
- 4. 秩 Rank
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- 4.1 列满秩
- 4.2 行满秩
- 4.3 满秩
1. 可解的条件 Solvability conditions on b
仍 取 A = [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] 仍取A=\left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 4 } & { 6 } & { 8 } \\ { 3 } & { 6 } & { 8 } & { 10 } \end{array} \right] 仍取A=⎣⎡1232462682810⎦⎤，则方程为 [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = [ b 1 b 2 b 3 ] \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 4 } & { 6 } & { 8 } \\ { 3 } & { 6 } & { 8 } & { 10 } \end{array} \right] \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \\ { x _ { 4 } } \end{array} \right)=\left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } \end{array} \right] ⎣⎡1232462682810⎦⎤⎝⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎞=⎣⎡b1b2b3⎦⎤
矩阵 A A A的第三行为第一行和第二行的加和， 因此 A x = b Ax=b Ax=b中 b b b的第 3 个分量也要等于其第 1 和第 2 个分量的和。若 b b b不满足 b 3 = b 1 + b 2 b_3=b_1+b_2 b3=b1+b2 则方程组无解。
[ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { b_1 }\\ { 2 } & { 4 } & { 6 } & { 8 } & { b_2 } \\ { 3 } & { 6 } & { 8 } & { 10 } & { b_3 }\end{array} \right] ⎣⎡1232462682810b1b2b3⎦⎤
增 广 矩 阵 ： [ A , b ] 增广矩阵：[A,b] 增广矩阵：[A,b]
检验 A x = b Ax=b Ax=b是否可解的方法是对增广矩阵进行行消元。如果矩阵 A A A的行被完全消去的话，则对应的 b b b的分量也要得 0。在本例中，矩阵 A A A的第三行被消去。
[ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] → [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 ∗ b 1 0 0 2 4 b 3 − 3 ∗ b 1 ] → [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 ∗ b 1 0 0 0 0 b 3 − b 1 − b 2 ] \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { b_1 }\\ { 2 } & { 4 } & { 6 } & { 8 } & { b_2 } \\ { 3 } & { 6 } & { 8 } & { 10 } & { b_3 }\end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { b_1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 4 } & { b_2-2*b_1 } \\ { 0} & { 0 } & { 2 } & { 4 } & { b_3 -3*b_1}\end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { b_1 }\\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 4 } & { b_2-2*b_1 } \\ { 0} & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { b_3 -b_1-b_2}\end{array} \right] ⎣⎡1232462682810b1b2b3⎦⎤→⎣⎡100200222244b1b2−2∗b1b3−3∗b1⎦⎤→⎣⎡100200220240b1b2−2∗b1b3−b1−b2⎦⎤
如果 A x = b Ax=b Ax=b有解，则 b 3 − b 1 − b 2 = 0 b_3-b_1-b_2=0 b3−b1−b2=0。在本例中我们假设： b = [ 1 5 6 ] b=\left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 5 } \\ { 6 } \end{array} \right] b=⎣⎡156⎦⎤。
可解的条件：只有当 b b b处于矩阵的列空间 C ( A ) C(A) C(A)之中时，方程才有解。
等价的另一种描述方式为：矩阵 A A A的行向量若经过线性组合为零向量时，则对应的 b b b经同样的线性组合后也为0（注意是单个0）。
2. 特解 A particular solution
求 A x = b Ax=b Ax=b特解的方法是将自由变量均赋为0，求解其主变量。
本例中，令 x 2 = x 4 = 0 x_2=x_4=0 x2=x4=0得到方程组：
x 1 + 2 x 3 = 1 2 x 2 = 3 \left. \begin{array} { r } { x _ { 1 } + 2 x _ { 3 } = 1 } \\ { 2 x _ { 2 } = 3 } \end{array} \right. x1+2x3=12x2=3
可解得 x 3 = 3 2 ， x 1 = − 2 x_3=\frac{3}{2}，x_1=-2 x3=23，x1=−2。
x p = [ − 2 0 3 2 0 ] x_p=\left[ \begin{array} { c } { - 2 } \\ { 0} \\ { \frac { 3 } { 2 }} \\ 0 \end{array} \right] xp=⎣⎢⎢⎡−20230⎦⎥⎥⎤
3. 通解 Complete solution
为求得 A x = b Ax=b Ax=b的所有解，我们首先检验方程是否可解，然后找到一个特解。将特解和矩阵零空间的向量相加即为方程的通解。
3.1 与零空间进行线性组合 Combined with nullspace
A x p = b Ax_p=b Axp=b
A x n = 0 Ax_n=0 Axn=0
A ( x p + x n ) = b A(x_p+x_n)=b A(xp+xn)=b
A x = b Ax=b Ax=b的通解为 x c o m p l e t e = x p + x n x_{complete}=x_p+x_n xcomplete=xp+xn，其中 x n x_n xn 为矩阵零空间中的一般向量。将 A x p = b Ax_p=b Axp=b和 A x n = 0 Ax_n=0 Axn=0相加可得 A ( x p + x n ) = b A(x_p+x_n)=b A(xp+xn)=b。
将 A A A转换成rref，则结果如下所示：
x 1 x 2 x 3 x 4 x_1 \ \ x_2 \ \ x_3 \ \ \ x_4 x1 x2 x3 x4
R = [ 1 2 0 − 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ] R=\left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 0 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] R=⎣⎡100200010−220⎦⎤
将 x 2 x_2 x2和 x 3 x_3 x3进行互换，则为：
[ 1 0 2 − 2 0 1 0 2 0 0 0 0 ] \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ⎣⎡100010200−220⎦⎤
互换后的结果应该为 [ − F I ] \left[ \begin{array} { c } { - F } \\ { I } \end{array} \right] [−FI]，即 [ − 2 2 0 − 2 1 0 0 1 ] \left[ \begin{array} { c c } { - 2 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 2 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎡−20102−201⎦⎥⎥⎤。再把 x 2 x_2 x2和 x 3 x_3 x3互换即为：
[ − 2 2 1 0 0 − 2 0 1 ] \left[ \begin{array} { r r } { - 2 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎡−210020−21⎦⎥⎥⎤
因此方程 A x = [ 1 5 6 ] Ax=\left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 5 } \\ { 6 } \end{array} \right] Ax=⎣⎡156⎦⎤的通解即为：
x c o m p l e t e = [ − 2 0 3 2 0 ] + c 1 [ − 2 1 0 0 ] + c 2 [ 2 0 − 2 1 ] x_{complete}=\left[ \begin{array} { c } { - 2 } \\ { 0} \\ { \frac { 3 } { 2 }} \\ 0 \end{array} \right]+c_1\left[ \begin{array} { c } { - 2 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]+c_2\left[ \begin{array} { c } { 2 } \\ { 0 } \\ { - 2 } \\ { 1 } \end{array} \right] xcomplete=⎣⎢⎢⎡−20230⎦⎥⎥⎤+c1⎣⎢⎢⎡−2100⎦⎥⎥⎤+c2⎣⎢⎢⎡20−21⎦⎥⎥⎤
其中 c 1 c_1 c1和 c 2 c_2 c2为任意实数。
方程的解 A x = b Ax=b Ax=b构成了穿过 x p x_p xp点并和矩阵零空间平行的“平面“，矩阵的零空间 N ( A ) N(A) N(A)是 R 4 R^4 R4空间中的二维子空间，但该平面并不是 R 4 R^4 R4空间的子空间（因为没有过零点）。
4. 秩 Rank
假设矩阵的shape为 m ∗ n m*n m∗n，如果矩阵的秩为 r r r，则必有 r ≤ m r \leq m r≤m 且 r ≤ n r \leq n r≤n。
4.1 列满秩
列满秩为 r = n r=n r=n，零空间 N ( A ) N(A) N(A)之内只有零向量。原因：每列都有主元， x x x的每一个分量都是主变量，没有自由变量。方程无解或者有唯一解 x p x_p xp。
A = [ 1 3 2 1 6 1 5 1 ] → [ 1 0 0 1 0 0 0 0 ] = R A=\left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { 2 } & { 1 } \\ { 6 } & { 1 } \\ { 5 } & { 1 } \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] = R A=⎣⎢⎢⎡12653111⎦⎥⎥⎤→⎣⎢⎢⎡10000100⎦⎥⎥⎤=R
4个方程，2个未知数。
R = [ I 0 ] R=\left[ \begin{array} { l } { I } \\ { 0 } \end{array} \right] R=[I0]
4.2 行满秩
行满秩为 r = m r=m r=m，每行都有主元，无论 b b b取何值，方程 A x = b Ax=b Ax=b都有解。主变量 r r r个，自由变量 n − r n-r n−r个即 n − m n-m n−m个。
A = [ 1 3 6 5 3 1 1 1 ] → [ 1 0 ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗ ] = R A=\left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 3 } & { 6 } & { 5 } \\ { 3 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { * } & { * } \\ { 0 } & { 1 } & { * } & { * } \end{array} \right]=R A=[13316151]→[1001∗∗∗∗]=R
R = [ I F ] R=[I \quad F] R=[IF]
4.3 满秩
满秩 r = m = n r=m=n r=m=n，矩阵可逆。零空间只有零向量，无论 b b b取何值，方程 A x = b Ax=b Ax=b都有唯一解。
R = I R=I R=I
简单来说， R R R的倒数行是否为零行决定了是否有解。如果没有零行，则一定有解。
秩决定了方程组解的数量。