二分图

转自 http://blog.csdn.net/q3498233/article/details/5786225

二分图：二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X，另一个属于集合Y。

二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点（即2条匹配的边是没有公共顶点），则称M是一个匹配。
最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配：如果所有点都在匹配边上，则称这个最大匹配是完美匹配。

二分图匹配基本概念：

未盖点
设VI是G的一个顶点，如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称VI是一个未盖点。

交错轨

在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条"交错路径"，也就是说这条由图的边组成的路径， 它的第一条边是目前还没有参与匹配的，

第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配（并且始点和终点还没有被选择过，那就是增广路）。

可增广轨（增广路）
    两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。

可增广轨的性质：

1：P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2：P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3：M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

 

最重要的：

 

最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜N｜－最大匹配数
最小顶点覆盖 == 最大匹配（双向图）/2；
二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

 

二分图最大匹配匈牙利算法：

算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错 轨",

也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和 终点还没有被选择过.

这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是 将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,

匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证 明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.

这也就是匈牙利算法的思路。

 

点支配:有点A B相连，那么A支配B；
点覆盖:有点A，有一边E与他相连，那么称A覆盖边E；最小点覆盖就是求最少的点可以连接到所有的边。最小点覆盖=最大二分匹配数。
点独立:在图G中，如果点A与点B没有边直接相连，两点间不相邻。就称这两点间独立。（这里是关于点的独立）
边覆盖:有一条边E，有2个顶点A,B，称边E覆盖了A,B；
边独立:（也称匹配）边E1，E2没有公共顶点，那么称E1，E2边独立；
最佳匹配:在匹配问题上加了权值，权值总和最大的叫最佳匹配；

月老的难题

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难度： 4

 

描述

月老准备给n个女孩与n个男孩牵红线，成就一对对美好的姻缘。

现在，由于一些原因，部分男孩与女孩可能结成幸福的一家，部分可能不会结成幸福的家庭。

现在已知哪些男孩与哪些女孩如果结婚的话，可以结成幸福的家庭，月老准备促成尽可能多的幸福家庭，请你帮他找出最多可能促成的幸福家庭数量吧。

假设男孩们分别编号为1~n,女孩们也分别编号为1~n。

 

输入

第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(1<=T<=400)
每组测试数据的第一行有两个整数n,K，其中男孩的人数与女孩的人数都是n。(n<=500,K<=10 000)
随后的K行，每行有两个整数i,j表示第i个男孩与第j个女孩有可能结成幸福的家庭。(1<=i,j<=n)

输出

对每组测试数据，输出最多可能促成的幸福家庭数量

样例输入

1

3 4

1 1

1 3

2 2

3 2

样例输出

2

 1 #include<stdio.h>

 2 #include<string.h>

 3 int vis[10000],match[10000],head[10000];//match[]记录匹配点

 4 struct node

 5 {

 6     int v;

 7     int next;

 8 }edge[10030];

 9 int n,m,inddex;

10 void add(int x,int y)

11 {

12     edge[inddex].v=y;

13     edge[inddex].next=head[x];

14     head[x]=inddex++;

15 }

16 int dfs(int u)

17 {

18     int i,j;

19     for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)

20     {

21         int tt=edge[i].v;

22         if(!vis[tt])

23         {

24             vis[tt]=1;

25             if(match[tt]==-1||dfs(match[tt]))//如果tt未在前一个匹配M中，或者tt在匹配M中，但是从与tt相邻的节点出发可以有增广路径

26             {

27                 match[tt]=u;//记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）  28                 return 1;

29             }

30         }

31     }

32     return 0;

33 }

34 int main()

35 {

36     int i,j,t;

37     scanf("%d",&t);

38     while(t--)

39     {

40         memset(match,-1,sizeof(match));

41         memset(head,-1,sizeof(head));

42         scanf("%d%d",&n,&m);

43         inddex=1;

44         for(i=0;i<m;i++)

45         {

46             int x,y;

47             scanf("%d%d",&x,&y);

48             add(x,y);

49         }

50         int ans=0;

51         for(i=1;i<=n;i++)

52         {

53             memset(vis,0,sizeof(vis));

54             if(dfs(i))

55                 ans++;

56         }

57         printf("%d\n",ans);

58     }

59 }