线性代数复习篇

行列式的基本运算

|A|运算

代数余子式

D为原式子，M为1行2列的代数余子式。

矩阵的基本运算

加法

略（就是对应的地方相加）

乘法

数乘简单，就是然矩阵的每一个元素都乘以该数。
矩阵的乘法：（要求A的行数必须等于B的列数，不然不可相乘）

注意：

1. 矩阵的乘法不满足交换律，AB不一定等于BA。
2. 由矩阵的乘积AB，不能推出A = 0或B = 0，也就是说A != 0 且 B != 0也能推出AB = 0.
3. 矩阵的乘法不满足消去律。（矩阵当中就没有除法）
4. 满足结合律：(AB)C = A(BC)
5. 满足数乘结合律: k(AB) = A(kB)
6. 满足左分配律和右分配律：(B+C)A = BA + CA

其他

1. A,B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积。|AB| = |A||B|

矩阵的基本定义

单位矩阵

主对角元全为1，且其余元素全为0的n阶矩阵（记作I或E）。
图例：

数量矩阵

主对角元全为k，且其余元素全为0的n阶矩阵（记作kI或kE）。

对角矩阵

非主对角元皆为0的n阶矩阵。

三角矩阵

分为上三角矩阵和下三角矩阵。
下三角和上三角：

伴随矩阵

AA* = C，C是一个数量矩阵（kI），通过矩阵A的代数余子式进行求解。

对称矩阵，转置矩阵

将一个矩阵的行和列进行互换。记作A^T或A^’。

逆矩阵

对于方阵A，如果存在方阵B，使得AB = BA = I，就称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵。(|A| != 0是A的逆的充分必要条件）
定理：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的
证：AB = BA = I, AC = CA = I
得：B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C

对于可逆举证A，它的可逆矩阵为：A^*/|A|

可逆矩阵满足下列运算规律：

1. (A^-1)^-1 = A;
2. (kA)^-1 = k^-1A^-1
3. (AB)^-1 = B^-1A^-1
4. (A^T) ^-1 = (A^-1)^T
5. |A^-1| = 1/|A|, 即|A^-1| = |A|^-1

矩阵的秩

这粗略的理解就是，如果矩阵A不是满秩矩阵，那么矩阵中的一些行是‘多余’的，意思就是这些行，可由‘秩’（数量）行表示。

线性相关

定义： 如果对于m个向量a₁，a₂，a₃，…，a_m, 有m个不全为0的数k₁，k₂，k₃，…k_m，使得：

a₁k₁ + a₂k₂ + a₃k₃ +…+ a_mk_m = 0_n

则称这些向量线性相关，否则称为线性无关。

齐次线性方程组

齐次线性方程组是指常数项全部为零的线性方程组。如果m

线性相关与齐次线性方程组有非零解互为充分必要条件

秩的定义

如果向量组a₁，a₂，a₃，…，a_s, 中存在r个线性无关的向量，且其中一个向量可由这r个线性无关向量表示，则数r称为向量组的秩。

1. 初等变换不改变矩阵的秩
2. 矩阵A的行秩等于其列秩
3. 矩阵A的行秩数值称为矩阵A的秩
4. n阶矩阵A的秩等于n的冲要条件式A为非奇异矩阵（|A| != 0)