Matlab小结5（图论）

G = graph(s,t,weights) ——使用节点对组s,t和权重向量weights
创建赋权无向图
G = graph(s,t,weights,nodes)——使用字符向量元胞数组nodes
指定节点名称
G = graph(s,t,weights,num) ——使用数值标量num指定图中的
节点数
G = graph(A[,nodes],type)——仅使用A的上或下三角形阵构造
赋权图，type可以是’upper’ 或
‘lower’
sparse邻接矩阵转系数矩阵

例1无权无向图

clc, clear, close all 
E=[1,2;1,3;2,3;3,2;3,5;4,2;4,6;5,2;5,4;6,5] 
s = E(:,1); t = E(:,2); 
nodes =cellstr(strcat('v',int2str([1:6]'))) 
G = digraph(s, t, [], nodes); 
plot(G) 
W1 = adjacency(G) %邻接矩阵的系数矩阵 
W2 = incidence(G)%关联矩阵的系数矩阵

其中clear all：清除工作空间的所有变量，函数，和MEX文件，strcat
cellstr
邻接矩阵表示结点与结点之间的关系，关联矩阵表示结点与边的关系

例2有权无向图最短路

clc, clear, close all 
E = [1,2,50; 1,4,40; 1,5,25; 1,6,10; 2,3,15; 2,4,20; 2,6,25; 
3,4,10;3,5,20; 4,5,10; 4,6,25; 5,6,55]; 
G = graph(E(:,1), E(:,2), E(:,3)); 
p = plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight,'Layout', 'circle');
[path2, d2] = shortestpath(G, 1, 2) %求1到2的最短路
highlight(p,path2,'EdgeColor','r','LineWidth',1.5)%在图中画出path2的路线
[path3, d3] = shortestpath(G, 1, 3, 'method','positive') %同上，'method','positive'可省略
highlight(p,path3,'EdgeColor', 'm','LineWidth',1.5) 

另一个例子

clc, clear, close all
a(1,2)=2;a(1,3)=8;a(1,4)=1;a(2,3)=6;a(2,5)=1;
a(3,4)=7;a(3,5)=5;a(3,6)=1;a(3,7)=2;a(4,7)=9;
a(5,6)=3;a(5,8)=2;a(5,9)=9;a(6,7)=4;a(6,9)=6;
a(7,9)=3;a(7,10)=1;a(8,9)=7;a(8,11)=9;
a(9,10)=1;a(9,11)=2;a(10,11)=4;
a=a';
[i,j,v]=find(a);
b=sparse(i,j,v,11,11);
[x,y,z]=graphshortestpath(b,1,11,'directed',false)

其中z表示1（graphshorestpath里设定的，不是默认）到每个点最短路的倒数第二个节点，比如z3=6，1到3的最短路从1到2到5到6再到3
从两个例子可以看出shortestpath对已经生成的图使用，graphshortestpath对稀疏矩阵使用，下面例7的graphmaxflow和maxflow同理

例3 Dijkstra

clc, clear, a=zeros(6);
a(1,[2,4,5,6])=[50,40,25,10]; 
a(2,[3,4,6])=[15,20,25];
a(3,[4,5])=[10,20]; 
a(4,[5,6])=[10,25];
a(5,6)=55; 
G = graph(a,'upper'); 
d = distances(G,'Method','positive')

例4 Prime求最小生成树（好像用不到）

a=zeros(7); 
a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52; 
a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70; 
a=a+a'; 
a(find(a==0))=inf; 
result=[];p=1;tb=2:length(a); 
while size(result,2)~=length(a)-1 
    temp=a(p,tb); 
    temp=temp(:); 
    d=min(temp); 
     [jb,kb]=find(a(p,tb)==d,1); 
    j=p(jb);k=tb(kb); 
    result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[]; 
end 
result

例5 Kruskal求最小生成树（好像用不到）

a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;a(3,4)=52;a(3,7)=45; 
a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70; 
[i,j,b]=find(a);data=[i';j';b'];index=data(1:2,:); 
loop=length(a)-1;result=[]; 
while length(result)<loop 
     temp=min(data(3,:)); 
     flag=find(data(3,:)==temp);
     flag=flag(1);                   
     v1=index(1,flag);
     v2=index(2,flag);                         
     if v1~=v2 
        result=[result,data(:,flag)];       
     end 
                                             
     index(find(index==v2))=v1;                  
     data(:,flag)=[];index(:,flag)=[];            
end                                               
result 

例6最小生成树函数

clc, clear, close all, a=zeros(7); 
a(1,[2 3])=[50,60];a(3,[4,7])=[52,45]; 
a(2,[4 5])=[65 40]; a(4,[5:7])=[50,30,42]; 
a(5,6)=70; 
s=cellstr(strcat('v',int2str([1:7]'))); 
G=graph(a,s,'upper'); 
p=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight) 
T=minspantree(G,'Method','sparse') 
L=sum(T.Edges.Weight), highlight(p,T) 

其中sum为最小生成树的权重，常用于连通每个点，求最小权值，upper表示输入的矩阵为上三角，反之lower
另一个例子

clc, clear, xy=load('data4_12.txt'); d=mandist(xy); %求xy的两两列向量间的绝对值距离 
s=cellstr(strcat('v',int2str([1:9]'))); %构造顶点字符串 
G=graph(d,s); %构造无向图 
T=minspantree(G); %用默认的Prim算法求最小生成树 
L=sum(T.Edges.Weight) %计算最小生成树的权重 T.Edges %显示最小生成树的边集 h=plot(G,'Layout','circle','NodeFontSize',12); %画无向图 
highlight(h,T,'EdgeColor','r','LineWidth',2) %加粗最小生成树的边

例7求最大流并标注

clc, clear, close all
a = zeros(6); a(1,[2,4])=[8,7]; 
a(2,[3,4])=[9,5]; a(3,[4,6])=[2,5]; 
a(4,5)=9; a(5,[3,6])=[6,10]; 
G = digraph(a);
H=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight); 
[M,F]=maxflow(G,1,6)           
F.Edges, highlight(H,F, 'EdgeColor','r','LineWidth',1.5)

Matlab图论工具箱求解最大流的命令graphmaxflow，只能解 决权重都为正值，且两个顶点之间不能有两条弧的问题。若有两个顶点可添加一个虚拟顶点，例在顶点4和顶点3之间加入一个虚 拟顶点9，并添加两条弧，删除顶点4到顶点3的权重为2的弧，加 入的两条弧的容量都是2，不是1，因为这是容量，这一条需要2的容量，不是距离。

最小费用最大流问题就是要求一个从发点s到收点t的最大流，使流的总输送费用bf的和取最小值
function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);
%最小费用最大流函数
%第一个参数：容量矩阵；第二个参数：费用矩阵；
%前两个参数必须在不通路处置零
%第三个参数：指定容量值(可以不写, 表示求最小费用最大流)
%返回值flow 为可行流矩阵, val 为最小费用值

例8求最大流最小费用

global M num
c=zeros(6);u=zeros(6);
c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;
c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;
u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
其中需要添加两个外置函数
其一

function path=floydpath(w) 
global M num
w=w+((w==0)-eye(num))*M;
p=zeros(num);
for k=1:num
    for i=1:num
        for j=1:num
            if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)
               w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);
               p(i,j)=k;
            end
        end
    end
end
if w(1,num)==M
    path=[];
else
    path=zeros(num);
    s=1;
    t=num; m=p(s,t);
    while ~isempty(m)
        if m(1)
            s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);
            m(1)=[];
            m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];
        else
            path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];
        end
   end
end

其二

function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue); 
global M 
flow=zeros(size(rongliang));
allflow=sum(flow(1,:)); 
if nargin<3 
    flowvalue=M; 
end
while allflow<flowvalue
    w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)'; 
    path=floydpath(w); 
    if isempty(path) 
        val=sum(sum(flow.*cost)); 
        return; 
    end 
theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M)); 
theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);
flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta; 
allflow=sum(flow(1,:)); 
end 
val=sum(sum(flow.*cost));

两个新建函数，点击上面的运行（F9好像不行），自动命名为“函数名.m”，选择“添加到路径”，单独运行会提示输入参数不足，然后运行主文件

常用函数

旅行商问题：用图论的术语说，就是在一个赋权完全图（每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连）中，找出一个有最小权的Hamilton圈。称这种圈为最优圈。目前较好的算法的是每次从已得到的圈中选两个点vi和vj，比较v(i)v(j)+v(i+1)v(j+1)与v(i)v(i+1)+v(j)v(j+1)进行迭代
例9旅行商

clc, clear, close all
global a 
a=zeros(6); 
a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;
a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70; a(3,4)=36;
a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61;a(5,6)=13;
a=a+a';L=size(a,1); %返回矩阵的行数，2则是列数
c1=[5 1:4 6 ]; %5/1：4/6
[circle,long]=modifycircle(c1,L); %
c2=[5 6 1:4 ]; %改变初始圈，该算法的最后一个顶点不动
[circle2,long2]=modifycircle(c2,L);
if long2<long
    long=long2;
    circle=circle2;
end
circle,long
外置函数
function [circle,long]=modifycircle(c1,L); 
global a 
flag=1; 
while flag>0 
    flag=0;
    for m=1:L-3 
        for n=m+2:L-1 
            if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1)) 
                flag=1; 
                c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1); 
             end 
        end 
    end 
end 
long=a(c1(1),c1(L)); 
for i=1:L-1
    long=long+a(c1(i),c1(i+1)); 
end 
circle=c1;

若不使用图论的解法，还可以用线性0-1规划

例10

clc, clear
a=readmatrix('data4_15.xlsx');
a(isnan(a))=0; %把NaN替换为0
b=zeros(10); %邻接矩阵初始化
b([1:end-1],[2:end])=a; %邻接矩阵上三角元素赋值
b=b+b'; %构造完整的邻接矩阵
n=10; 
b([1:n+1:end])=1000000; %对角线元素换为充分大
prob=optimproblem; 
x=optimvar('x',n,n,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
u=optimvar('u',n,'LowerBound',0) %序号变量
prob.Objective=sum(sum(b.*x));
prob.Constraints.con1=[sum(x,2)==1; sum(x,1)'==1; u(1)==0];con2 = [1<=u(2:end); u(2:end)<=14];
for i=1:n
    for j=2:n
        con2 = [con2; u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1];
    end
end
prob.Constraints.con2 = con2;
[sol, fval, flag]=solve(prob)
xx=sol.x; [i,j]=find(xx); 
fprintf('xij=1对应的行列位置如下：\n')
ij=[i'; j']

其中b([1:n+1:end])=1000000;的原理是矩阵b的元素按列排序记为b(n)如3*3的矩阵元素顺序就为