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数学知识整理：二重积分

1 二重积分的性质

1.1 f(x,y)在有界闭区域上可积的充分条件&必要条件

在有界闭区域D上可积的函数f(x,y)必然是D上的有界函数
有界闭区域D上的连续函数或者分片连续函数f(x,y)在D上可积

1.2 线性性质

1.3 积分区域可加

（换言之，区域D被一条曲线分成两个部分区域D1和D2）

1.4 积分不等式

1.5 中值定理

如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，那么在D上至少存在一点，使得 $\iint_Df(x,y)dxdy=f(x_0,y_0)\cdot\sigma$ ，其中σ为区域D的面积

2 二重积分的计算方法

二重积分的计算总是化成累次积分来进行，也就是做一次定积分，再做一次定积分来进行计算。

2.1 按区域和形状分类

2.2 二重积分简化计算

当区域D关于x轴对称时
- · $\iint_Df(x,y)dxdy=0$ ,f(x,y)是奇函数
- $\iint_{D}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_1}f(x,y)dxdy$ ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的上半平面或者下半平面
当区域D关于y轴对称时
- · $\iint_Df(x,y)dxdy=0$ ,f(x,y)是奇函数
- $\iint_{D}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_1}f(x,y)dxdy$ ，f(x,y)是偶函数，且D1是D的左半平面或者右半平面
当区域D关于x轴，y轴都对称时
- · $\iint_Df(x,y)dxdy=0$ ,f(x,y)是奇函数
- $\iint_{D}f(x,y)dxdy=4\iint_{D_1}f(x,y)dxdy$ ，f(x,y)是偶函数，且D1是D在任一象限中的部分

1.2.3 举例

3 二重积分<——>极坐标二重积分

$\iint_D f(x,y) d\sigma=\iint_D f(rcos\theta, rsin\theta)rdrd\theta$

对于左边的情况， $\iint_D F(r,\theta) drd\theta=\int_{\alpha}^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} F(r,\theta)dr$
对于右边的情况， $\iint_D F(r,\theta) drd\theta=\int_{\alpha}^\beta d\theta \int_{0}^{r(\theta)} F(r,\theta)dr$

3.1 举例

4 二重积分的换元

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，如果变换 $\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \end{matrix}\right.$ 满足以下三个条件

将uv平面上区域D'一一对应到xy平面上的D
变换函数x(u,v),y(u,v)在D'上连续，且有连续的一阶偏微商
雅可比行列式 $J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ 在D'上不取零值

则有换元公式 $\iint_Dd(x,y)d\sigma=\iint_Df(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$

注：可以证明上述三个条件可以适当地放宽：对于（1）和（3），可以允许个别点/个别曲线上不满足；对于（2），可以允许分段连续

4.1 举例

求二重积分 $I=\iint_D xy d\sigma$ 其中区域D是由抛物线围成的

这里无论有那种次序的累次积分，都需要将D分成几块，比较繁琐。

不过如果我们把曲线边界表示为

时候，也就是进行变换 $\left\{\begin{matrix} u=\frac{y^2}{x}\\ v=\frac{x^2}{y} \end{matrix}\right.$ 时，可以迎刃而解。此时 $\left\{\begin{matrix} x=(uv^2)^\frac{1}{3}\\ y=(u^2v)^\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

雅可比矩阵 $j=\begin{vmatrix} \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}v^\frac{2}{3} & \frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}v^\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}u^{\frac{1}{3}}v^{-\frac{1}{3} }& \frac{1}{3}u^{\frac{2}{3}}v^{-\frac{2}{3}} \end{vmatrix}=-\frac{1}{3}$

所以原式 $=\iint_D(uv^2)^{\frac{1}{3}}(u^2v)^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{3} dudv=\frac{1}{3}\int_1^4(\int_1^4 uv dv)du=\frac{75}{4}$

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MCrypt是一个功能强大的加密算法扩展库，它包括有22种算法，phpMyAdmin依赖这个PHP扩展，具体如下：下载并解压libmcrypt-2.5.8.tar.gz。在终端执行如下命令： tar zxvf libmcrypt-2.5.8.tar.gz cd libmcrypt-2.5.8/ ./configure --disable-posix-threads --
MongoDB更新文档 [四] eksliang mongodb Mongodb更新文档
MongoDB更新文档转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2174104 MongoDB对文档的CURD，前面的博客简单介绍了，但是对文档更新篇幅比较大，所以这里单独拿出来。语法结构如下： db.collection.update( criteria, objNew, upsert, multi) 参数含义参数
Linux下的解压，移除，复制，查看tomcat命令 y806839048 tomcat
重复myeclipse生成webservice有问题删除以前的，干净 1、先切换到：cd usr/local/tomcat5/logs 2、tail -f catalina.out 3、这样运行时就可以实时查看运行日志了 Ctrl+c 是退出tail命令。有问题不明的先注掉 cp /opt/tomcat-6.0.44/webapps/g
Spring之使用事务缘由(3-XML实现) ihuning spring
用事务通知声明式地管理事务事务管理是一种横切关注点。为了在 Spring 2.x 中启用声明式事务管理，可以通过 tx Schema 中定义的 <tx:advice> 元素声明事务通知，为此必须事先将这个 Schema 定义添加到 <beans> 根元素中去。声明了事务通知后，就需要将它与切入点关联起来。由于事务通知是在 <aop:
GCD使用经验与技巧浅谈啸笑天 GC
前言 GCD(Grand Central Dispatch)可以说是Mac、iOS开发中的一大“利器”，本文就总结一些有关使用GCD的经验与技巧。 dispatch_once_t必须是全局或static变量这一条算是“老生常谈”了，但我认为还是有必要强调一次，毕竟非全局或非static的dispatch_once_t变量在使用时会导致非常不好排查的bug，正确的如下： 1
linux（Ubuntu）下常用命令备忘录1 macroli linux 工作 ubuntu
在使用下面的命令是可以通过--help来获取更多的信息1,查询当前目录文件列表：ls ls命令默认状态下将按首字母升序列出你当前文件夹下面的所有内容，但这样直接运行所得到的信息也是比较少的，通常它可以结合以下这些参数运行以查询更多的信息： ls / 显示/.下的所有文件和目录 ls -l 给出文件或者文件夹的详细信息 ls -a 显示所有文件，包括隐藏文
nodejs同步操作mysql qiaolevip 学习永无止境每天进步一点点 mysql nodejs
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Spring开发利器：Spring Tool Suite 3.7.0 发布 wiselyman spring
Spring Tool Suite(简称STS)是基于Eclipse，专门针对Spring开发者提供大量的便捷功能的优秀开发工具。在3.7.0版本主要做了如下的更新：将eclipse版本更新至Eclipse Mars 4.5 GA Spring Boot(JavaEE开发的颠覆者集大成者，推荐大家学习)的配置语言YAML编辑器的支持(包含自动提示，

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