2020南京icpc M 树形背包

题意：

给出一棵有$n$个结点的树，每棵结点$i$有一个血量为$hp[i]$的怪物，需要花费他与距离他为1的所有地方的存活的怪物的血量总和的能力来击败他。现在有个人从1结点开始进攻怪物，直到所有怪物都死掉为止。他会吟唱一种魔法，每次吟唱会直接消灭任意一个地方的怪物，问使用$k$次的情况下，需要的起始能量最低是多少，才足以支持他杀完所有怪物？求出$k=0,1,2,3,...,n$的所有结果

Solution：

因为目前点的花费与儿子删除与否存在关系，所以多开一维保存点是否删除，设$dp[u][i][0/1]$为子树$u$，在子树内用$i$次魔法，是否删去$u$的最少初始值是多少，那么只有当$u$和他的儿子$v$都没被删除时，才会需要初始值更大，于是有转移：

$$dp[u][i][0]=min(dp[u][j-k][0]+min(dp[v][k][0]+hp[v],dp[v][k][1]))$$

$$dp[u][i][1]=min(dp[u][j-k][1]+min(dp[v][k][0],dp[v][k][1]))$$

此时是必须选择一个合并的，而不能舍弃某棵子树，于是$dp[u][i][0/1]$是不能和自己取最小的，一般用两个数组来更新，初始化$tmp$为极大值，然后计算答案在$tmp$里计算，最后写入$dp$数组，转移方程用$tmp$的形式如下

$$tmp[u][i][0]=min(tmp[u][i][0],dp[u][j-k][0]+min(dp[v][k][0]+hp[v],dp[v][k][1]))$$

$$tmp[u][i][1]=min(tmp[u][i][1],dp[u][j-k][1]+min(dp[v][k][0],dp[v][k][1]))$$

并且一开始$dp$数组不能设0，需要设一个极大值，而这个极大值被计算时还需要看作0，这是树形背包一个很毒瘤的点，因为如果设0就更新不了最小值，所以只能设极大值，而计算时又需要用真实值，细节请看代码

树形背包优化的点之前只注意了上界，设$j$是被更新的点，$k$是枚举子树的背包大小，显然被更新的点不能大于现在的背包容量（设目前$sum[u]$已经合并了$sum[v]$），即$j\le sum[u]$是上界限制，还有一个下界限制是一直没注意到的，这里会导致超时，看转移方程，一般都是$dp[u][j]=dp[u][j-k]+dp[v][k]$的形式，利用了之前做完的背包，和枚举子树大小来更新现在的背包，那么以前的背包大小只做到了$sum[u]-sum[v]$（设此时的$sum[u]$已经包括了$sum[v]$），于是$j-k\le sum[u]-sum[v]$，即$k\ge j-sum[u]+sum[v]$，同理$k$还需要不超过子树大小和$u$目前的大小，即$k\le min(sum[v],j)$

之后还需要注意一些下标合法性的问题，这些问题都比较毒瘤

// #include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=2005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;

struct way
{
	int to,next;
}edge[N<<1];
int cnt,head[N];

void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].to=v;
	edge[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int n,hp[N],sum[N];
ll dp[N][N][2],tmp[N][2];//根是否被消灭了

void dfs(int u,int fa)
{
	sum[u]=1;
	dp[u][0][0]=hp[u];
	dp[u][1][1]=0;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		sum[u]+=sum[v];
		for(int j=sum[u];j>=0;j--)
		{
			tmp[j][0]=tmp[j][1]=INF;
			for(int k=max(0,j-sum[u]+sum[v]);k<=min(j,sum[v]);k++)
			{
				tmp[j][0]=min(tmp[j][0],(dp[u][j-k][0]==INF?0:dp[u][j-k][0])+dp[v][k][0]+hp[v]);
				if(k>=1) tmp[j][0]=min(tmp[j][0],(dp[u][j-k][0]==INF?0:dp[u][j-k][0])+dp[v][k][1]);
				if(j-k>=1) tmp[j][1]=min(tmp[j][1],(dp[u][j-k][1]==INF?0:dp[u][j-k][1])+dp[v][k][0]);
				if(k>=1&&j-k>=1) tmp[j][1]=min(tmp[j][1],(dp[u][j-k][1]==INF?0:dp[u][j-k][1])+dp[v][k][1]);
			}
		}
		for(int j=0;j<=sum[u];j++)
			for(int k=0;k<=1;k++) dp[u][j][k]=tmp[j][k];
	}
}

int main()
{
	int t; scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n); cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) head[i]=0;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			int x; scanf("%d",&x);
			add(x,i); add(i,x);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&hp[i]);
			for(int j=0;j<=n;j++) dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=INF;
		}
		//击杀i的怪物需要他自己的血量和周围怪物的血量和的能量
		//求最少能量，使得用m次魔法就可以全部杀光
		dfs(1,0);
		printf("%lld ",dp[1][0][0]);
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",min(dp[1][i][0],dp[1][i][1]));
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}