坐标变换矩阵与视角矩阵推导

假设现在世界空间里的3个坐标轴为$\mathbf{x}={\left(1,0,0\right)}^T$,$\mathbf{y}={\left(0,1,0\right)}^T$,$\mathbf{z}={\left(0,0,1\right)}^T$,局部空间中使用的三个坐标轴为$\mathbf{u}$,$\mathbf{v}$,$\mathbf{w}$,则假设局部空间的旋转矩阵为$\mathbf{O}2\mathbf{W}$,即经过此矩阵变换，能在保持相对空间中的$\mathbf{x}$,$\mathbf{y}$,$\mathbf{z}$相互垂直的情况下，将其旋转至和世界空间$\mathbf{u}$,$\mathbf{v}$,$\mathbf{w}$朝向完全重合.用矩阵运算表示即为：$$\left(\mathbf{O}2\mathbf{W}\right)\mathbf{x}=\mathbf{u}$$$$\left(\mathbf{O}2\mathbf{W}\right)\mathbf{y}=\mathbf{v}$$$$\left(\mathbf{O}2\mathbf{W}\right)\mathbf{z}=\mathbf{w}$$
我们先来关注下第一个式子，将其展开，即为
$$\left[\begin{array}{ccc}?& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$$
看到这个应该就能立马得到第一列即为$\mathbf{u}$，故
$$\left[\begin{array}{ccc}{u}_x& ?& ?\\ u_y& ?& ?\\ u_z& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$$
同理，我们运用第二三个式子则可以推断出$\mathbf{O}2\mathbf{W}$的最终形式：$$\mathbf{O}2\mathbf{W}=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x& v_x& w_x\\ u_y& v_y& w_y\\ u_z& v_z& w_z\end{array}\right]$$
则它的逆矩阵$\mathbf{W}2\mathbf{O}$,也可轻松获得，因为$\mathbf{O}2\mathbf{W}$是正交矩阵，故其逆矩阵就等于它的转置，即
$$\mathbf{W}2\mathbf{O}=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\\ w_x& w_y& w_z\end{array}\right]$$
这个矩阵的含义为已知世界空间中的坐标，则右乘$\mathbf{W}2\mathbf{O}$就可得到局部空间中的坐标，如：$$\mathbf{W}2\mathbf{O}\cdot \mathbf{u}=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\\ w_x& w_y& w_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
上述式子根据正交性得到.所以可以看到世界坐标下的$\mathbf{u}$经变换得到了它的局部坐标${\left[1,0,0\right]}^T$

现在一旦我们掌握了上述内容就可以轻松推导出视角矩阵，即view矩阵，view矩阵即把世界坐标的点转换到视角空间，眼的坐标为$\left(c_x,c_y,c_z\right)$

世界坐标系下的圆柱中心为$\left(h_x,h_y,h_z\right)$，

我们不妨把这个过程拆开想一下，先把眼移动到原点的位置，则因为圆柱和眼的相对位置不变，故其也应跟眼睛应用同样的变换

那么接下来显然只需旋转$\mathbf{u}$,$\mathbf{v}$,$\mathbf{w}$轴，使其与$\mathbf{x}$,$\mathbf{y}$,$\mathbf{z}$重合，即应用$\mathbf{W}2\mathbf{O}$旋转矩阵，同理，圆柱因为与眼睛的相对关系不变所以也跟着旋转，用图像表示这一过程：

用矩阵形式表述上面的转换过程则为：
$$\begin{gathered} \mathbf{V}\mathbf{i}\mathbf{e}\mathbf{w}=\mathbf{W}2\mathbf{O}\cdot \mathbf{T}=\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& u_y& u_z& 0\\ v_x& v_y& v_z& 0\\ w_x& w_y& w_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -c_x\\ 0& 1& 0& -c_y\\ 0& 0& 1& -c_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& u_y& u_z& -\mathbf{c}\cdot \mathbf{u}\\ v_x& v_y& v_z& -\mathbf{c}\cdot \mathbf{v}\\ w_x& w_y& w_z& -\mathbf{c}\cdot \mathbf{w}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$