从01背包问题理解动态规划

　　01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。

　　先不套用动态规划的具体定义，试着想，碰见这种题目，怎么解决?

　　首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。

　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。

　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

　　表达式中各个符号的具体含义。

　　w[i] :  第i个物体的重量；

　　p[i] : 第i个物体的价值；

　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

　　由此可得：

　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）

 

 

　　　　根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

　　　　

　　　　思路厘清后，开始编程序，C语言代码如下所示。

#include <stdio.h>
int c[10][100]={0};

void knap(int m,int n){

    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);
    for(j=0;j<m+1;j++)
        for(i=0;i<n+1;i++)
    {
        if(j<w[i])
        {
            c[i][j]=c[i-1][j];
            continue;
        }else if(c[i-1][j-w[i]]+p[i]>c[i-1][j])
            c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];
        else
            c[i][j]=c[i-1][j]; } }     


int main(){
    int m,n;int i,j;
    printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one(weight and value):\n");
    knap(m,n);
    printf("\n");
   for(i=0;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=m;j++)
       {
     printf("%4d",c[i][j]);
    if(m==j) printf("\n");
    }
}

代码中，红色字体部分是自己写的，其余的参照了这篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd26b301013810.html

 　　如果你很轻松地就突破了01背包，甚至很轻松地就理解了动态规划，那么继续前进，做一下这道题目(http://acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1012)。很好玩的。

 

小结：

　　　感谢上面引用的两篇博客，也感谢这两位博主，没有你们的博客，我恐怕对01背包问题还是半懂不懂的。

 

ps: 2014/5/19  更新一个递归解法，《算法：c语言》似乎也有一个递归解法，不过是错误的：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct _Item
{
	int size;
	int val;
}item;

item aitem[5] = { {3, 4}, {4, 5}, {7,10}, {8, 11}, {9, 13} };
int item_flag[5]; // 0: 未访问， 1： 
int result[5] ; // 保存中间输出结果
int mount = 0;
int max;

void  knap_rcs(int cap)
{


	int j ;
	for( j = 0; j < 5; j++)
	{
		int t =  cap - aitem[j].size;
		if( t >= 0 )
		{
			if( item_flag[j] == 0)
			{
				item_flag[j] = 1;
			
				result[j] = aitem[j].size;
				mount += aitem[j].val;

				knap_rcs(t);
				item_flag[j] = 0;
				result[j] = 0;
				mount -= aitem[j].val;
			}

		}
		else // 已到递归终点，输出结果
		{
			int i ;
			for( i =0; i < 5 ; i++)
				if( result[i] != 0 )
					printf("size: %d\t", result[i] );
			printf("\n");
			printf("%d\n", mount);
			if( mount > max )
				max = mount;
			return ;
		}

	}
}
			
		




int main()
{
        int N;

        while(scanf("%d", &N) !=  0)
        {
			getchar();
			for(int k = 0; k < 5; k++)
			{
				item_flag[k] = 0;
				result[k] = 0;
			}

			max = 0;
			knap_rcs(N);
			printf("max value: %d\n\n", max);



                
        }

	system("pause");
        return 0;
}