简述逆元+两种算法

 

逆元：用于计算式子 (a/b) mod p,当b十分大的时候，可以利用b的逆元inv（b）,原式即为（a*inv（b） mod p）。一个类似于b的倒数的家伙，要注意的是b的逆元并不唯一，而且要说成是b模p的情况下逆元是多少。逆元不是一定存在的，必须是b与p互质（两者公因数仅有1）才存在逆元。

求解逆元的方法，目前博主学了两个：

1. 利用费马小定理快速幂求逆元。
2. 利用拓展欧几里得算法求逆元。

1.利用费马小定理求解逆元：（这个解法仅适用于p为质数)公式为：inv(a)≡a的p−2次幂。

代码实现：

long long ksm(long long a,long long b)
{
	if(b<0) return 0;
	long long ret=1;
	a%=mod;
	while(b)
	{
		if(b&1ll)
		ret=(ret*a)%mod;
		b>>=1;
		a=(a*a)%mod;
	}
	return ret;
}
long long inv(long long a)
{
		return ksm(a,mod-2);
}

2.利用拓展欧几里得算法实现。

代码实现：

typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int r=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=y;
	y=x-(a/b)*y;
	x=t;
	return r;
}

在模板中，a为要求逆元的数，b为a要模的数即为mod，x为a mod b的逆元，y为b mod a的逆元。（mod一会是个数词，一会是个动词，嘎嘎），r为a，b的最大公约数，r若不为1，则逆元不存在。