Node2vec
引言
这篇论文可以说是对DeepWalk的扩展，按照LINE的说法，DeepWalk只捕捉了节点间的二阶相似性。LINE同时捕捉节点间的一阶相似性和二阶相似性。而Node2Vec同时也是同时捕捉一阶相似性和二阶相似性。和LINE不同的是，Node2Vec是基于Random Walk实现的。
首先介绍两个重要概念：
- 一阶相似性：在Node2vec中也叫做同质性，一阶相似性捕捉的是图中实际存在的结构。比如两个节点由一条边相连。则这两个节点应该具有相似性表示，按照Node2vec中的设计**，高度互联且属于相似网络的集群或社区的节点表示应该比较相近的，一阶相似性往往可以通过节点的DFS遍历得到**。
二阶相似性：在Node2vec中，也叫做结构的对等性。在网络中具有相似的结构节点表示应该相近。其并不强调两个节点是否在图中存在连接。即使两个节点离得很远，但是，由于结构上相似（连接得邻居结点相似）它们得表示也应该相似，所以二阶相似性可以发现不同得社区，二阶相似性可以通过结点得BFS遍历得到。
一阶相似性和二阶相似性的区别可以由下图看出：
其中结点 U U U和结点 S 6 S_6 S6就是属于二阶相似性，可由BFS遍历捕获到， U U U和 S 1 S_1 S1都属于一阶相似性。可以由DFS捕获到。
注：这里的结论可能与我们的理解相反，即一戒嗔相似性不应该由BFS得到吗？下面介绍Node2Vec时候给出一些想法。
Node2Vec首先借鉴了自然语言处理的Skip-gram算法。给定一个节点，最大化周围邻近节点出现的条件概率。
m a x f ∑ u ∈ V l o g P r ( N s ( u ) ∣ f ( u ) ) max_f\sum_{u \in V}logPr(N_s(u)|f(u)) maxfu∈V∑logPr(Ns(u)∣f(u))
注意：这里的 N s ( u ) 是 节 点 u 的 邻 居 节 点 N_s(u)是节点u的邻居节点 Ns(u)是节点u的邻居节点，在Node2vec中，邻居节点有着不一样的定义，其不一定是由直接边相连的节点。而是根据采样策略确定的，后面会有详细的介绍。
为了方便优化上式，作者做了两个假设：
- 条件独立性假设：即各个邻居节点是相互独立的，所以有::
P r ( N s ( u ) ∣ f ( u ) ) = ∏ n i ∈ N s ( u ) P r ( n i ∣ f ( u ) ) Pr(N_s(u)|f(u)) = \prod_{n_i\in N_s(u)}Pr(n_i|f(u)) Pr(Ns(u)∣f(u))=ni∈Ns(u)∏Pr(ni∣f(u))
特征空间对称性：即一个节点与它们之间的邻居节点影响是互相的，于是其可以对邻居节点进行嵌入表示。然后利用点乘形式刻画条件概率：
有了以上两个形式假设，可以把公式一改写为如下形式：
其中：
这里我们发现，最终导出的目标函数和LINE中的二阶相似性公式很想，实际上两者只相差了一个边的权重 w i j w_{ij} wij 和LINE中一样，计算 Z U Z_U ZU是耗时的，所以作者也采用了负采样的方法。
注意：LINE中对二阶相似性建模公式为：
写到这里可以发现，以上思想和Deepwalk非常相似，都是给定一个节点，最大化邻居节点（一次采样路径上的节点）出现的条件概率。只不过由于计算方式的不同，Node2vec捕捉了二阶相似性。Deepwalk捕捉了一阶相似性。Deepwalk到这里和新算法其实已经结束了。其接下来在介绍如何利用Hierarchical Softmax来优化条件概率的计算。而Node2vec到这里才刚刚开始，其和Deppwalk最大的不同是，如何采样节点，即采样邻居节点 N s ( u ) N_s(u) Ns(u)
采样算法
传统的采样算法
传统的采样算法主要分为以下两部分：
- 基于BFS：基于广度优先遍历采样，那么通常 N s ( u ) N_s(u) Ns(u)为节点u的直接邻居。即与 u u u直接相连接的节点。比如在图1中，我们设置采样大小 K = 3 K = 3 K=3,那么 N s ( u ) N_s(u) Ns(u)为 s 1 , s 2 , s 3 s_1,s_2,s_3 s1,s2,s3.
- 基于DFS：基于深度优先遍历的采样，那么采样节点会离原节点越来越来越元。比如在图1中，我们设置采样大小 K = 3 K = 3 K=3,那么 N s ( u ) N_s(u) Ns(u)为 S 4 , S 5 . S 6 S_4,S_5.S_6 S4,S5.S6.
实际上这两种比较极端的采样方法，DFS和BFS对于前面所说二阶相似性和二阶相似性。也叫同质和结构对等性。
node2vevv都是想通过设计一种采样算法，来融合一阶相似性和二阶相似性。
Node2vec中的采样算法
node2vec中的采样算法基于random walk的，给定源节点 u u u,采样长度为1.假设当前节点在 C i − 1 C_{i - 1} Ci−1个采样的节点，那么下一个采样节点为 x x x的概率为:
其中 π v x \pi_{vx} πvx为从节点 v v v到节点 x x x的转移概率。Z为归一化常数。
传统的random walk 采样算法是完全随机的，这样就很难让采样过程自动一阶和二阶相似性。为此，作者提出了二阶随机游走。
使用基于random walk采样的好处
node2vec的算法流程
特征学习算法
注意：node2vecwalk算法的第5步：采用了alas采样算法。可以在 O ( 1 ) O(1) O(1)的时间内完成。
实验
作者首先利用《悲惨世界》里的人物，共现关系验证了node2vec里的有效性，如下图所示：
总结
node2vec可以说是deepwalk的扩展，两个参数 p 和 q p和q p和q来控制， b f s 和 d f s bfs和dfs bfs和dfs两种方式的随机游走，而deepwalk是一个不加制约，漫无目的的游走。不能显式的建模节点之间的结构信息。
Alias sample采样算法
import numpy as np
def alias_setup(probs):
'''
Compute utility lists for non-uniform sampling from discrete distributions.
Refer to https://hips.seas.harvard.edu/blog/2013/03/03/the-alias-method-efficient-sampling-with-many-discrete-outcomes/
for details
'''
K = len(probs)
q = np.zeros(K) #保存样本概率
J = np.zeros(K, dtype=np.int) #保存补1的事件
smaller = []
larger = []
for kk, prob in enumerate(probs):
q[kk] = K*prob
if q[kk] < 1.0:
smaller.append(kk)
else:
larger.append(kk)
while len(smaller) > 0 and len(larger) > 0:
small = smaller.pop()
large = larger.pop()
J[small] = large
q[large] = q[large] + q[small] - 1.0 #q[large]-(1-q[small])
if q[large] < 1.0:
smaller.append(large)
else:
larger.append(large)
return J, q #（alias，prab）
def alias_draw(J, q):
'''
Draw sample from a non-uniform discrete distribution using alias sampling.
'''
K = len(J)
kk = int(np.floor(np.random.rand()*K))
if np.random.rand() < q[kk]:
return kk
else:
return J[kk]
这部分为真正的源吗
import numpy as np
import networkx as nx
import random
from gensim.models import word2vec
class Graph():
def __init__(self, nx_G, is_directed, p, q):
self.G = nx_G
self.is_directed = is_directed
self.p = p
self.q = q
def node2vec_walk(self, walk_length, start_node):
'''
Simulate a random walk starting from start node.
'''
G = self.G
alias_nodes = self.alias_nodes
alias_edges = self.alias_edges
walk = [start_node]
while len(walk) < walk_length:
cur = walk[-1]
cur_nbrs = sorted(G.neighbors(cur))
if len(cur_nbrs) > 0:
# 如果序列中仅有一个结点，即第一次游走
# alias_nodes中保存了alias_setup的[alias, accept]，通过alias_draw返回采样的下一个索引号
if len(walk) == 1:
walk.append(cur_nbrs[alias_draw(alias_nodes[cur][0], alias_nodes[cur][1])])
else:
# 当前游走结点的前一个结点和下一个节点
prev = walk[-2]
# 使用alias_edges中记录的[alias, accept]，来采样邻居中的下一个节点
next = cur_nbrs[alias_draw(alias_edges[(prev, cur)][0],
alias_edges[(prev, cur)][1])]
walk.append(next)
else:
break
return walk
def simulate_walks(self, num_walks, walk_length):
'''
Repeatedly simulate random walks from each node.
'''
G = self.G
walks = []
nodes = list(G.nodes())
# nodes采样一次为一个epoch，此处就是num_walks个epoch
print('Walk iteration:')
for walk_iter in range(num_walks):
print(str(walk_iter+1), '/', str(num_walks))
random.shuffle(nodes)
for node in nodes:
walks.append(self.node2vec_walk(walk_length=walk_length, start_node=node))
return walks
def get_alias_edge(self, src, dst):
'''
Get the alias edge setup lists for a given edge.
:return alias_setup(): 在上一次访问顶点 t ，当前访问顶点为 v 时到下一个顶点 x 的未归一化转移概率。
:param src: 随机游走序列种的上一个结点
:param dst: 当前结点
参数p控制重复访问刚刚访问过的顶点的概率。若p较大，则访问刚刚访问过的顶点的概率会变低。
参数q控制着游走是向外还是向内：
若q>1，随机游走倾向于访问和上一次的t接近的顶点(偏向BFS)；若q<1，倾向于访问远离t的顶点(偏向DFS)
'''
G = self.G
p = self.p
q = self.q
unnormalized_probs = []
for dst_nbr in sorted(G.neighbors(dst)):
if dst_nbr == src: # 如果是要返回上一个节点
unnormalized_probs.append(G[dst][dst_nbr]['weight']/p)
elif G.has_edge(dst_nbr, src): # 如果接下来访问的节点与src的距离与当前节点相等
unnormalized_probs.append(G[dst][dst_nbr]['weight'])
else:
unnormalized_probs.append(G[dst][dst_nbr]['weight']/q)
norm_const = sum(unnormalized_probs)
normalized_probs = [float(u_prob)/norm_const for u_prob in unnormalized_probs]
return alias_setup(normalized_probs)
def preprocess_transition_probs(self):
'''
Preprocessing of transition probabilities for guiding the random walks.
用于引导随机游走的预处理，得到马尔可夫转移概率矩阵。
'''
G = self.G
is_directed = self.is_directed
alias_nodes = {}
# G.neighbors(node) 与顶点相邻的所有顶点，更方便更快的访问adjacency字典用: G[cur]
for node in G.nodes():
# 根据邻居节点的权重，计算转移概率
unnormalized_probs = [G[node][nbr]['weight'] for nbr in sorted(G.neighbors(node))]
norm_const = sum(unnormalized_probs)
# 计算当前节点到邻居节点的转移概率，其实就是权重归一化
normalized_probs = [float(u_prob)/norm_const for u_prob in unnormalized_probs]
# 设置alias table，保存每个节点的accept[i]和alias[i]，为后面alias采样做准备。
alias_nodes[node] = alias_setup(normalized_probs)
alias_edges = {}
triads = {}
# 保存每条边的accept[i]和alias[i]
if is_directed:
for edge in G.edges():
alias_edges[edge] = self.get_alias_edge(edge[0], edge[1])
else:
for edge in G.edges():
alias_edges[edge] = self.get_alias_edge(edge[0], edge[1]) # 随机游走序列种的上一个结点 当前节点
alias_edges[(edge[1], edge[0])] = self.get_alias_edge(edge[1], edge[0])
self.alias_nodes = alias_nodes
self.alias_edges = alias_edges
print(self.alias_nodes)
print(self.alias_edges)
return
def alias_setup(probs):
'''
Compute utility lists for non-uniform sampling from discrete distributions.
Refer to https://hips.seas.harvard.edu/blog/2013/03/03/the-alias-method-efficient-sampling-with-many-discrete-outcomes/
for details
:param probs: 指定的采样结果概率分布列表。期望按这个概率列表来采样每个随机变量X。
:return J: alias[i]表示第i列中不是事件i的另一个事件的编号。
:return p: accept[i]表示事件i占第i列矩形的面积的比例。
'''
K = len(probs)
# q表示：accept数组
q = np.zeros(K)
# J表示：alias数组
J = np.zeros(K, dtype=np.int)
# Alias方法将整个概率分布压成一个 1*N 的矩形，每个事件转换为矩形中的面积。
# 将面积大于1的事件多出的面积补充到面积小于1对应的事件中，以确保每一个小方格的面积为1，
# 同时，保证每一方格至多存储两个事件。
smaller = [] # 面积小于1的事件
larger = [] # 面积大于1的事件
for kk, prob in enumerate(probs):
q[kk] = K*prob
if q[kk] < 1.0:
smaller.append(kk)
else:
larger.append(kk)
while len(smaller) > 0 and len(larger) > 0:
small = smaller.pop()
large = larger.pop()
J[small] = large
# 其实是 q[large] - (1.0 - q[small])，把大的削去(1.0 - q[small])填充到小的上
q[large] = q[large] + q[small] - 1.0
# 大的剩下的面积，放到下一轮继续倒腾
if q[large] < 1.0:
smaller.append(large)
else:
larger.append(large)
return J, q
def alias_draw(J, q):
'''
Draw sample from a non-uniform discrete distribution using alias sampling.
参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/54867139
:param q: accept数组，表示事件i占第i列矩形的面积的比例；
:param J: alias数组，表示alias矩形的第i列中不是事件i的另一个事件的编号，也就是填充的那一列的序号；
生成一个随机数 kk in [0, K]，另一个随机数 x in [0,1],
如果 x < accept[kk]，表示接受事件kk，返回kk，否则拒绝事件kk，返回alias[kk]
'''
K = len(J)
kk = int(np.floor(np.random.rand()*K))
if np.random.rand() < q[kk]:
return kk
else:
return J[kk]
def read_graph(input_file, directed):
'''
Reads the input network in networkx.
'''
if directed:
G = nx.read_edgelist(input_file, delimiter=",", nodetype=int, data=(('weight',float),), create_using=nx.DiGraph())
else:
G = nx.read_edgelist(input_file, delimiter=",", nodetype=int, create_using=nx.DiGraph())
for edge in G.edges():
G[edge[0]][edge[1]]['weight'] = 1
if not directed:
G = G.to_undirected()
return G
def learn_embeddings(walks):
'''
Learn embeddings by optimizing the Skipgram objective using SGD.
'''
walks = [list(map(str, walk)) for walk in walks]
print(walks)
# model = word2vec.Word2Vec(walks, vector_size=64, window=3, min_count=0, sg=1, workers=1, epochs=5)
# model.save_word2vec_format(args.output)
#model.wv.save_word2vec_format(args.output, binary=False)
return
def main(directed):
'''
Pipeline for representational learning for all nodes in a graph.
'''
nx_G = read_graph(r"C:\Users\Administrator\TensorFlow\game.csv", directed)
print(list(nx_G.edges(data=True)), list(nx_G))
for node in nx_G.neighbors(2):
print(node)
G = Graph(nx_G, False, 1, 2)
G.preprocess_transition_probs()
walks = G.simulate_walks(5, 3)
learn_embeddings(walks)
if __name__ == "__main__":
main(directed = False)
总结
会先大致看一下，代码，然后慢慢的开始研究代码结构，全部将其搞定都行啦的样子与打算，慢慢的将代码全部都将其搞定都行啦的样子与打算，用到啥，后续将各种的代码都将其搞完整都行啦的样子与打算。