【拓扑学知识】4.拓扑性质--分离公理与可数公理（分离性和可数性）

之前我们说同胚映射（拓扑变化）时，提到同胚映射（拓扑变化）不改变的性质即为拓扑性质。这里我们要说的可数性和分离性即拓扑性质。
分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理（只概述了度量拓扑的最基本性质）的不足，因此它们本身也被称为公理。本节介绍4个分离公理和2个可数定理。

1.分离公理

分离公理是关于两个点（或闭集）能否用邻域来分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求。

1.1 $T_1$公理

1.定义

任何两个不同点$x,y$，$x$存在（开）邻域不含$y$，$y$存在（开）邻域不含$x$。

2.判定条件

$X$满足$T_1$公理$⟺$$X$的有限子集是闭集。
证明：
必要性：因为有限子集为单点集的并集，所以只要证明单点集为闭集即可。设$\forall x,y\in X,y\ne x$，则$\{x\}\backslash y=x$。由$X$满足$T_1$公理知，存在$y$的邻域内均不含$\{x\}\backslash y=x$的点，所以$x$的导集为$\varnothing$，即$\overline{\{x\}}=\{x\}$,即$\{x\}$为闭集。
充分性：设$\forall x,y\in X,y\ne x$，因为$\{x\},\{y\}$为闭集，所以其补集$R\backslash \{x\},R\backslash \{y\}$为开集，且分别为$y,x$的开邻域，显然$R\backslash \{x\},R\backslash \{y\}$分别不含$x,y$。

3.必要性推论

若$X$满足$T_1$公理，$A\subset X$，点$x$是A的聚点 $\Rightarrow$ $x$的任意邻域与$A$的交集均为无穷集。
证明：反证法：设$U$为$x$的邻域，不妨设$U$为开集，假设$U\bigcap A$为有限集。则$B=（U\bigcap A）\backslash \{x\}=（U\bigcap A)\bigcap \{x{\}}^c$仍为有限集且不含$x$，所以（由2知）为闭集。则$B$的在U中的补集$U\backslash B$为开集，即$U\backslash B=U\backslash (（U\bigcap A）\bigcap \{x{\}}^c)=U\bigcap B^c=U\bigcap ((U\bigcap A{)}^c\bigcup \{x\})=U\bigcap (U^c\bigcup A^c\bigcup \{x\})=(U\bigcap A^c)\bigcup \{x\}$为$x$的开邻域，但与$A\backslash \{x\}$的交集为空，这与$x$为A的聚点相矛盾。所以$U\bigcap A$为无穷集

1.2 $T_2$公理

1.定义

任何两个不同的点存在不相交的（开）邻域。
$T_2$公理是最重要的分离公理，满足$T_2$公理的拓扑空间被称为 $Hausdorff$空间。
显然满足$T_2$公理一定满足$T_1$公理，反正则不然。如R上的余有限拓扑$(R,{\tau }_f)$。

2.改善收敛性

若$X$满足$T_2$公理，即$X$是$Hausdorff$空间，则$X$中任意一个序列不会收敛到2个及以上的点。
证明： 设$\{x_n\}$为$Hausdroff$空间$X$中的任意一个收敛序列，假设其收敛到$x_0$，$x\ne x_0$。即证明$x_n\nrightarrow x$。由$X$满足$T_2$公理，存在$x_0,x$的邻域$U,V$满足$U\bigcap V=\varnothing$。因为$x_n\to x_0$，则由收敛的定义知，$x_0$的邻域$U$中含有$\{x_n\}$的几乎所有项，即只有有限项在$U^c$中，所以$V\subset U^c$中也仅有$\{x_n\}$的有限项。所以$x_n\nrightarrow x$。

1.3 $T_3$公理

1.定义

任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域。（若$A\subset U^{。}$，则集合$A$的邻域为$U$）

2.判定条件

满足$T_3$公理$⟺$任意点$x$与它的开邻域$W$,存在$x$的开邻域$U$，使得$\overline{U}\subset W$。
证明：
充分性"$\Leftarrow$"
设$x$为拓扑空间$X$的任意一点，$A$为不包含$X$的任一闭集，则$A^c$为$x$的一个开邻域。由条件知：存在$x$的开邻域$U$，使得$\overline{U}\subset A^c$。令$V={\overline{U}}^c$，则$A\subset V$，即$V$为集合A的一个开邻域，且$U\bigcap V=\varnothing$，所以$X$满足$T_3$公理。
必要性"$\Rightarrow$"
设$x$为拓扑空间$X$的任意一点，$W$为其一开邻域。记$B=W^c$,则B为不包含$x$的闭集，$U,V$分别为$x,B$的开邻域，且$U\bigcap V=\varnothing$，所以$\overline{U}\subset V^c\subset B^c=W$。

1.4 $T_4$公理

1.定义

任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域。

2.判定条件

满足$T_4$公理$⟺$任意闭集$A$和它的开邻域$W$,有$A$的开邻域$U$，使得$\overline{U}\subset W$。（这个证明和1.3.2的证明套路一摸一样哦~）

1.5 $T_i(i=1,2,3,4)$公理之间的关系

由1.2我们已经知道，满足$T_2$公理则$\Rightarrow$满足$T_1$公理，这是显然的。
如果拓扑空间$X$满足$T_1$公理（记好前提），则它的单点集是闭集。因此$T_3\Rightarrow T_2$，$T_4\Rightarrow T_3$，但没有$T_1$公理的前提是不成立的。
例如$(R,\tau )=(\tau =\{(-\infty ,a)|-\infty \le a\le \infty \}$满足$T_4$公理（不相交闭集仅有$\varnothing ,R$,其开邻域$\varnothing ,R$显然是不相交的）但不满足$T_i(i=1,2,3)$公理。

1.6 度量空间满足4个分离公理

度量空间$(X,d)$满足$T_i(i=1,2,3,4)$公理。
证明： 显然$(X,d)$中的单点集为闭集（因为其余集可以由球形领域并表示），从而$(X,d)$中的有限集是闭集。因此$(X,d)$满足$T_1$公理。因此只需要再验证$T_4$公理即可。

这里点到集合的距离，若$x$在集合A中则$d(x,A)=0$，否则$d(x,A)=inf\{d(x,y)|y\in A\}$。

2.可数公理

可数公理共有$C_1,C_2$两个，也叫第一、二可数公理。满足$C_i$公理的拓扑空间称为$C_i$空间。$C_2$空间也叫做完全可分空间。在介绍可数公理前，先引入邻域基的概念。

2.1 邻域基

两“姬”之一，另一个是拓扑“姬”就不用我说了8
定义： 设$x\in X$，把$x$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系，记作$\Gamma$，$\Gamma$的一个子集(即$x$的一族邻域）${\rm Y}$称为$x$的一个邻域基，如果$x$的每个邻域至少包含${\rm Y}$中的一个成员。
eg：邻域系本身；所有开邻域也构成$x$的一个邻域基；若$\Lambda$是拓扑空间$X$的拓扑基，则${\rm Y}=\{B\in \Lambda |x\in B\}$也是$x$的一个邻域基（因为$x$的任何开邻域$U={\bigcup }_{\Lambda }B\supset {\rm Y})$。

2.2 $C_1$公理

1.定义

拓扑空间的任一点都有可数邻域基。
( ⚠注意可数是指邻域基本身元素个数是可数的，而非有可数个邻域基)
eg: 度量空间满足$C_1$公理，$\{B(x,q)|q$是有理数$\}$和$\{B(x,\frac{1}{n})|n$是自然数$\}$都是$x$的可数邻域基。

2. 必要性结论1

如果$X$在$x$处有可数邻域基，则$x$有可数邻域基$\{V_n\}$，使得$m>n$时，$V_m\subset V_n$。
证明： 设$x$处的一个可数邻域基为$\{U_n\}$，令$V_n={\bigcap }_{i=1}^n{U}_n$，则$V_n\subset U_n$，所以$\{V_n\}$也是$x$处的可数邻域基，并且$m>n$时，$V_m\subset V_n$。

3.必要性结论2

若$X$是$C_1$空间，$A\subset X，x\in \overline{A}$，则$A$中存在序列收敛到$x$。
证明： 取$x$处的可数邻域基$\{V_n\}$，满足$m>n$时，$V_m\subset V_n$（结论1保证$\{V_n\}$是存在的）。因为$x\in \overline{A}$，所以$V_n\bigcap A\ne \varnothing ,\forall n$。取$x_n\in (V_n\bigcap A)，$得到$A$中的一个序列$\{x_n\}$，设$x$的任一邻域为$U$，则存在n，使得$x_n\in V_n\subset U$，又因为当$m>n$时，$x_m\in V_m\subset V_n\subset U$，所以x的任一邻域$U$中含有序列$\{x_n\}$中几乎所有项，即该序列收敛到$x$。

4. 必要性结论3

若$X$是$C_1$空间，$x_0\in X$，映射$f：X\to Y$满足：$x_n\to x_0$时，$f(x_n)\to f(x_0)$，则$f$在$x_0$处连续。
证明：反证法： 假设满足条件时，$f$在$x_0$点不连续，则存在$f(x_0)$的邻域$V$满足$f^{-1}(V)$不是$x_0$的邻域。所以$x_0\in \overline{f^{-1}(V{)}^c}$，有必要性结论2知$\overline{f^{-1}(V{)}^c}$中存在序列$\{x_n\}$收敛到$x_0$，由条件知$x_n\to x_0$时，$f(x_n)\to f(x_0)$，所以对于几乎所有的$n$，$f(x_n)\in V$，即对于几乎所有，$x_n\in f^{-1}(V)$，这与$\{x_n\}$是$\overline{f^{-1}(V{)}^c}$中的序列相矛盾，所以假设不成立。

2.3 $C_2$公理

1.定义

拓扑空间有可数拓扑基。满足$C_2$公理的拓扑空间也叫完全可分空间。
(⚠注意：度量空间是虽然满足上面的所有公理，但存在度量空间不满足$C_2$公理，如下）

2.两“姬”关系（拓扑基与邻域基关系）

（1）若$X$有可数拓扑基$\Lambda$，则$X$一定有可数邻域基。（$\forall x\in X$，可数邻域基为$\{B\in \Lambda |x\in B\}$。为啥这玩意是邻域基？问问你的开区间是咋生成的！）

（2）所以满足$C_2$公理$\Rightarrow$满足$C_1$公理。

		拓扑“姬”，历害！

3.$C_2$与可分空间的关系

（1）$C_2$空间是可分空间，反之则未必。
证明： 要证明$C_2$空间是可分空间，只要证明其有可数稠密子集即可。设$\{B_n\}$为$C_2$空间$X$的可数拓扑基，从每个$\{B_n\}$中取一点得到集合$\{x_n\}$，则$\forall x\in X$，$x$的任一邻域与$\{x_n\}$都有交点，所以$X=\overline{\{x_n\}}$，所以$\{x_n\}$为$X$的一个可数稠密子集。所以$C_2$空间$X$是可分的。

（2）可分度量空间是$C_2$空间。

4.Lindelof定理（$C_2$与分离公理的联系）

若拓扑空间$X$满足$C_2$公理和$T_3$公理，则它也满足$T_4$公理。

3.拓扑性质的遗传性和可乘性

1.遗传性

一种拓扑性质，如果具有她的拓扑空间的子空间一定也具有，则称这种拓扑性质具有遗传性。

2.可乘性

一种拓扑性质，如果具有她的两个拓扑空间的乘积空间一定也具有，则称这种拓扑性质具有可乘性。

可分性具有可乘性，但不具有遗传性。
$T_1,T_2,T_3,C_1,C_2$两个都具有。
$T_4$公理两个都不具有。