管住嘴迈开腿

1.问题重述

将模型假设修改为“每周体重减少不要超过 1kg”，检查所制定的减肥计划是否满足，如不满足，重新制定计划。

2.模型假设

1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000 (为非国际单位制单位，1 = 4.2)增加体重1 。
2. 身体正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200 至320 之间，且因人而异，这相当于体重70 的人每天消耗2 000 至3 200 。
3. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关。
4. 为了安全与健康，每周吸收热量不要小于10 000 (原假设)，且每周减少量不要超过1 000 (原假设)，每周体重减少不要超过1 。

3.符号说明

4.模型建立与解决

模型建立 由书可得基本模型如下：

由假设一， =1/8000/。减肥计划的提出 通过制定一个具体的减肥计划讨论模型(1)的应用。某人身高1.70 ，体重100 ，高达34.6。自述目前每周吸收20000 热量，体重长期未变。试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体
重减至75 (即 = 26)并维持下去：
1)在正常代谢情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：吸收热量由20000 每周减少1000 ，直至达到安全下限(每周10000 )；第二阶段：每周吸收热量保持下限，直至达到减肥目标。
2)为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划。
3)给出达到目标后维持体重不变的方案。
减肥计划的制订 首先应确定某人的代谢消耗系数，根据他每周吸收 =20000 热量，体重 = 100 不变，在(1)式中令( + 1 ) = () =，(ℎ) = ，得

于是

相当于每周每千克体重消耗热量20000/100= 200 。从假设 2 可以知道，某人属于正常代谢消耗相当弱的人。他又吃得那么多，难怪如此之胖。

1. 正常代谢情况下的两阶段计划。第一阶段要求吸收热量由20000 每周减少1000 (由表 2，如每周减少米饭和瘦肉各350 )，达到下限 = 10000 ，即第十周达到下限
   
   将()及 =1/8000， = 0.025代入(1)式，可得
   
   (4)式虽是一阶线性常系数差分方程，但因右端含有时间变量，不能直接应用基础知识6 − 1的求解公式。更方便的办法是，以(1) = 100 为初始值，按照(4)式编程计算，可得第11周(初)体重(11) = 90 。第二阶段要求每周吸收热量保持下限，由(1)式可得
   
   以第一阶段的终值(11)为第二阶段的初值，按照(5)式编程计算，直至(11 + ) ≤ 75 为止，可得(11 + 19) ≤ 75，即每周吸收热量保持下限10 000 ，再有29周体重可减至75 。两阶段共需39周。
2. 为加快进程而增加运动。记表3中热量消耗为，每周运动时间为 ℎ，在(1)式中将改为 + ，即
   

类似的计算可得，(11) = 90 , ( 11 + 13) = 74.196，即若增加 =0.005的运动，就可将第二阶段的时间缩短为13周。由 =1/8000可知，增加的运动内容应满足 = 40，可从表3选择合适的运动形式和时间，如每周步行7 ℎ加乒乓4 ℎ。两阶段共需23周，增加运动的效果非常明显。将正常代谢和增加运动两种情况下的体重()作图，得到的曲线如图1。

经检查，两种情况下每周体重的减少都不超过1。
3)达到目标后维持体重不变的方案。最简单的是寻求每周吸收热量保持某常数值，使体重 = 75 不变。类似于(2)式，在(6)式中令( + 1) =() = ，() = ，得

由(9)式，在正常代谢下( = 0)可算出 = 15000 ；若增加 = 40的运动，则 = 18000 。实际上，如果在减肥计划的开始，就让某人每周吸收热量由20000 直接减至 = 15000 ，那么他的体重也将逐渐下降，很长时间以后(理论上是无穷长)才会降到75 。而若每周吸收热量减至14000 ，13000 ，12 000 ，体重下降速度将加快，直接按照(1)式计算，得到的曲线如图2。
可以看到，达到目标体重75的时间分别约为70周，50周和40周，都比上面的两阶段计划长，且吸收热量的突减也对身体不利。书上的原计划显然是不满足条件的，若是重新定制计划可以在原计划基础上提高每周吸收热量下限，削减每周减少量，或者直接以“每周体重减少1kg”为条件，令() − ( + 1) = 1，即() = (1) − 代入模型一，得到() =12000 − 200，经过十周()下降至10000，第十一周体重为90。然后()保持下限，按照(5)计算直到(11 + ) ≤ 75，可得 = 19，同时可以满足条件。

代码：

w=[100];
for i=2:10
 w(i)=w(i-1)*0.975+2.5-0.125*i;
end
for i=11:35
 w(i)=w(i-1)*0.975+1.25;
end
plot(w);
hold on;
for i=2:10
 w(i)=w(i-1)*0.97+2.5-0.125*i;
end
for i=11:35
 w(i)=w(i-1)*0.97+1.25;
end
plot(w);
xlabel('k/周');
ylabel('w/kg');
legend('正常代谢','增加运动');
grid on;