傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系

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傅里叶变换

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傅里叶变换

了解三种变换前我们先要简单的了解一下时域和频域的概念:

傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系_第1张图片
傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系_第2张图片
傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系_第3张图片
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什么是傅里叶变换

高等数学中一般是从周期函数的傅里叶级数开始介绍的,这里也不例外。简单的说,从高中我们就学过一个理想的波可以用三角函数来描述,但是实际上的波可以是各种奇形怪状的。首先我们来看具有固定周期的波,下图中展示了4种常见的周期波。傅里叶级数告诉我们,这些周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加,且这些波的频率都是原始信号频率fo的整数倍。
在这里插入图片描述

这里f0被称为这些波的基频,A0/2代表直流系数,系数An被称为幅度,ϕn被称作相位。根据幅度和相位可以利用反变换恢复信号的波形,因此幅度和相位包含了信号的全部信息。这里的幅度关于频率的函数,我们称之为频谱,相位关于频率的函数,称之为相位谱。
傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系_第7张图片

下图是矩形波分解为多个正弦波的示意图,随着正弦波数目的增加,可以无限地逼近矩形波。 对于非周期信号,我们不能简单地将它展开为可数个正弦波的叠加,但是可以利用傅里叶变换展开为不可数的正弦波的叠加,其表达式可以通过f0→∞简单得到。

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我们日常遇到的琴音、震动等都可以分解为正弦波的叠加,电路中的周期电压信号等信号都可以分解为正弦波的叠加。 那么问题来了,为什么我们要将信号分解为正弦波的叠加呢?这里面包含两个问题,为什么要分解?为什么是正弦波(或余弦波),可不可以是其他的波?另一个问题是对通信的同学的,我们学过多个变换那么这些变换之间有哪些关系? 在下面的篇章中,我将回答这三个问题。
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傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系

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信号处理中经常要对信号做各种变换,其中傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换是最基础的几个变换。 他们都是为了对信号做频谱分析而采用的变换,只不过被变换的信号会有一些差异。

从模拟信号x(t)开始,如果模型信号能量是有限的,那么我们可以对它做傅里叶变换,把它用频域表达为X(w)。如果信号的能量是无限的,那么傅里叶变换将不会收敛,这种时候可以对它做拉普拉斯变换X(s)。 如果我们将拉普拉斯的s=σ+jw域画出来,他是一个复平面,拉普拉斯变换X(s)是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴jw的值X(jw)就是傅里叶变换。
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三者之间的关系

上面说的三种变换都是讲原先在时域中表示的信号:

傅里叶变换只能对能量有限的信号进行变换(也就是可以收敛的信号),无法对能量无限的信号进行变换(无法收敛的信号)进行变换!

因此,拉氏变换由此诞生,他就是在傅里叶变换公式中乘以一个双肩因子,使得能量无限的信号也能进行时频变换!

Z变换就是离散化的拉氏变换!

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