前缀和差分简介

前缀和差分

前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

思路

开一个数组s，数组s记录输入整数序列的前缀和。注意序列元素从1开始存，s[0]=0;

l-r的元素和为s[r]-s[l-1].

子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

思路

开二维数组s记录子矩阵的和，s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]

以(x1,y1),(x2,y2)为矩阵左上角坐标和右下角坐标的子矩阵的和为s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c,表示将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

思路

设输入的原始序列为a数组，构造数组b，使a为b的前缀和。则a的[l,r]+c，相当于b[l]+=c,b[r+1]-=c;

这样操作复杂度会大大降低。求操作后的序列a就是求b的前缀和数组。

怎样构造数组b使得a为b的前缀和？

构造b数组其实就是b[i]=a[i]-a[i-1],其中b[0]=a[0].

也可以利用构造的实现b[l]+=c,b[r+1]-=c的insert函数。

insert(i,i,a[i])即可。因为insert相当于在b[i]的位置上先加上a[i],再减去a[i-1].

差分矩阵

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

思路

构造二维数组b，使得a是b的子矩阵和.则在以(x1,y1) 和 (x2,y2)为左上和右下坐标的子矩阵上+c相当于

	b[x1][y1]+=c;
	b[x2+1][y1]-=c;
	b[x1][y2+1]-=c;
	b[x2+1][y2+1]+=c; 

为什么是这样呢，因为b[i][j]+=c相当于其前缀和矩阵a的以i，j为顶点右上角的所有元素都会加c，所以要减掉上方和右方多加的值。

类似一维差分，我们也可以用一个insert函数来初始化数组b和计算。

例题

CSP 202203-2 出行计划

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int main() {
    int n, m, k;//出行计划个数、查询个数、 等待核算时间
    cin >> n >> m >> k;


    //定义一个数组，下标对应q，数组中存储对应的次数。此时定义这里为差分数组，最后对其进行前缀和操作。
    vector<int> q(N + 1, 0);
    /*
     * 为什么定义成差分数组？
     * 每来一个活动，相当于[t-k,t-k-c+1]时间内参与核酸检测都可以通行，所以都要加1
     * 多次不同区间的加减运算当然要用差分！
     */

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int t, c, left, right;
        cin >> t >> c;
        right = t - k;
        left = t + 1 - k - c;
        if (left >= 0 && right >= 0) {
            q[left]++;
            q[right + 1]--;
        }
        if (right >= 0 && left < 0) {
            q[0]++;
            q[right + 1]--;
        }
    }

    //计算前缀和
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        q[i] = q[i - 1] + q[i];
    }

    //读入并输出q
    while (m--) {
        int te;
        cin >> te;
        cout << q[te] << endl;
    }
}