高等数学公式大赏

极限

概念 公式
极限 ∃A,∀ε>0,∃δ>0,使x∈(a-δ,a)∪(a,a+δ)时│f(x)-A│<ε ⇔ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)=A
无穷极限 ∃A,∀ε>0,∃δ>0,使│x-a│>δ时│f(x)-A│<ε ⇔ lim ⁡ x → ∞ \lim\limits_{x→∞} xlimf(x)=A
单侧极限 右极限定义为∃A,∀ε>0,∃δ,使x∈(a+δ,a)时│f(x)-A│<ε ⇔ lim ⁡ x → a − \lim\limits_{x→a^-} xalimf(x)=A,左极限同理
极限有界性 lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)存在⇒∃δ,f(x)在(a-δ,a)∪(a,a+δ)内有界
极限保号性 ∃δ,∀f(x)∈(a-δ,a)∪(a,a+δ),f(x)为正(负)⇒ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)存在则为正(负)
极限的四则运算 lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x) = A, lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimg(x) = B ⇒ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimk1f(x)+k2g(x)=k1A+k2B, lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimfg = AB, lim ⁡ x → a f ( x ) ‾ g ( x ) = A ‾ B \lim\limits_{x→a}\begin{matrix}\underline{f(x)}\\g(x)\end{matrix}=\begin{matrix}\underline A\\B\end{matrix} xalimf(x)g(x)=AB
极限存在条件 lim ⁡ x → a + \lim\limits_{x→a^+} xa+limf(x)= lim ⁡ x → a − \lim\limits_{x→a^-} xalimf(x)=A ⇔ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)=A
夹逼准则 x→+∞时f(x) lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)= lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimh(x)=A ⇒ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimg(x)=A
极限典中典 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x ‾ x \lim\limits_{x→0}\begin{matrix}\underline{\sin x}\\x\end{matrix} x0limsinxx=1, lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x \lim\limits_{x→0}(1+x)^\frac 1x x0lim(1+x)x1= lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x \lim\limits_{x→∞}(1+\frac 1x)^x xlim(1+x1)x=e
无穷大量 ∀M>0,∃δ>0,使0<│x-a│<δ时│f(x)│>M ⇔ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)=∞
无穷小量 ∀ε>0,∃δ>0,使0<│x-a│<δ时│f(x)│<ε ⇔ lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x)=0
极限的阶 lim ⁡ x → 0 f ( x ) ‾ g ( x ) \lim\limits_{x→0}\begin{matrix}\underline{f(x)}\\g(x)\end{matrix} x0limf(x)g(x)=0/1/C/∞时f(x)是g(x)的高阶/等价/同阶/低阶无穷小

连续

概念 公式
函数的连续性 f(x)在x=a处连续 ⇔ lim ⁡ x → a ⇔\lim\limits_{x→a} xalimf(x)=f(a),只取一边极限则为左(右)连续;在区间上每一点连续⇔在该区间连续
函数的连续特性 连续函数的线性组合、乘、除(分母非零)、复合函数、反函数以及初等函数都在定义好的区间内连续
第一类间断点 f(a-),f(a+)都存在的点,相等为可去间断点,不相等为跳跃间断点
第二类间断点 f(a-) , , f(a+)不存在的点,若两者中有∞则为无穷间断点,否则为振荡间断点
单调有界准则 单调增函数有上界则有上极限,单调减函数有下界则有下极限
二重极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(x,y)→(x_0,y_0)} (x,y)(x0,y0)limf=A ⇔ ∃A,∀δ,∃ε>0,在0< ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} (xx0)2+(yy0)2 <δ时有│f(x,y)-A│<ε
二元连续 lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(x,y)→(x_0,y_0)} (x,y)(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)

导数与微分

概念 公式
导数 f’(x0)= lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x ) ‾ Δ x = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) ‾ x − x 0 \lim\limits_{Δx→0}\begin{matrix}\underline{f(x_0+Δx)-f(x)}\\Δx\end{matrix}=\lim\limits_{x→x_0}\begin{matrix}\underline{f(x)-f(x_0)}\\x-x_0\end{matrix} Δx0limf(x0+Δx)f(x)Δx=xx0limf(x)f(x0)xx0,左、右导数为f’(x0-)、f’(x0+)
可导 函数在某一点的左·右导数存在且相等,偏导数、方向导数同理
微分 Δx→0时,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)
一元导微关系 可微 ⇔ 可导 ⇒ 连续,dy=f’(x0)Δx+o(Δx)
切线/法线 切线为y=f’(x0)(x-x0)+f(x0),法线为 y = − x − x 0 f ′ ( x 0 ) ‾ + f ( x 0 ) y=-\begin{matrix}x-x_0\\\overline{f'(x_0)}\end{matrix}+f(x_0) y=xx0f(x0)+f(x0)
导数的物理意义 位移的导数为速度,速度的导数为加速度,⋯⋯
导/微的线性性 (af+bg)’=af’+bg’
乘除法的微分 (fg)’=f’g+fg’, ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ ‾ g 2 (\frac fg)'=\begin{matrix}\underline{f'g-fg'}\\g^2\end{matrix} (gf)=fgfgg2
复合函数求导 f’(g(x))=f’(u)│u=g(x)g’(x)
求高阶导公式 (fg)(n)= ∑ i = 0 n C n i f ( i ) g ( n − i ) ∑_{i=0}^nC_n^if^{(i)}g^{(n-i)} i=0nCnif(i)g(ni)
反函数的求导 x y ′ = d x ‾ d y = 1 d y d x ‾ = 1 y x ′ ‾ , x y ′ ′ = d d y ‾ ⋅ 1 y x ′ ‾ = d d x ‾ ⋅ 1 y x ′ ‾ ⋅ d x ‾ d y = − y x ′ ′ ( y x ′ ) 3 ‾ , ⋯ x'_y=\begin{matrix}\underline{\mathrm dx}\\\mathrm dy\end{matrix}=\begin{matrix}1\\\overline\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\end{matrix}=\begin{matrix}1\\\overline{y'_x}\end{matrix},x''_y=\begin{matrix}\mathrm d\\\overline{\mathrm dy}\end{matrix}·\begin{matrix}1\\\overline{y'_x}\end{matrix}=\begin{matrix}\mathrm d\\\overline{\mathrm dx}\end{matrix}·\begin{matrix}1\\\overline{y'_x}\end{matrix}·\begin{matrix}\underline{\mathrm dx}\\\mathrm dy\end{matrix}=\begin{matrix}-y''_x\\\overline{(y'_x)^3}\end{matrix},⋯ xy=dxdy=1dxdy=1yxxy=ddy1yx=ddx1yxdxdy=yx(yx)3
洛必达法则 f(x),g(x)在a的某去心邻域可导, lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimf(x) = lim ⁡ x → a \lim\limits_{x→a} xalimg(x) = 0或∞ ⇒ lim ⁡ x → a f ( x ) ‾ g ( x ) = lim ⁡ x → a f ′ ( x ) ‾ g ′ ( x ) \lim\limits_{x→a}\begin{matrix}\underline{f(x)}\\g(x)\end{matrix}=\lim\limits_{x→a}\begin{matrix}\underline{f'(x)}\\g'(x)\end{matrix} xalimf(x)g(x)=xalimf(x)g(x)
洛必达典中典 lim ⁡ x → 0 + x ln ⁡ x = lim ⁡ x → 0 + ln ⁡ x ‾ x − 1 = lim ⁡ x → 0 + x − 1 − x − 2 ‾ = lim ⁡ x → 0 + − x = 0 \lim\limits_{x→0^+}x\ln x=\lim\limits_{x→0^+}\begin{matrix}\underline{\ln x}\\x^{-1}\end{matrix}=\lim\limits_{x→0^+}\begin{matrix}x^{-1}\\\overline{-x^{-2}}\end{matrix}=\lim\limits_{x→0^+}-x=0 x0+limxlnx=x0+limlnxx1=x0+limx1x2=x0+limx=0
极值 f(x)在a点有定义,在其某去心邻域上总有f(x)<(>)f(a),则f(a)为f(x)的极大(小)值
极值特性 极值处可导则f’=0,去心邻域可导则f’一边正一边负,二阶可导则最小(大)值点处f"为正(负)
单调性 连续可导函数在某区间上有f’(x)≥(≤)0且f(x)不在其任一子区间上恒为零⇒f(x)单调递增(递减)
凹凸性 连续函数恒有 f ( x 1 + x 2 ‾ 2 ) < ( > ) f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ‾ 2 f(\begin{matrix}\underline{x_1+x_2}\\2\end{matrix})<(>)\begin{matrix}\underline{f(x_1)+f(x_2)}\\2\end{matrix} f(x1+x22)<(>)f(x1)+f(x2)2,即为凹(凸)函数,且f"(x)≥(≤)0
拐点 连续函数上,凹凸性相反的部分的分界点
拐点特性 拐点x=a二阶可导则f"(a)=0,去心邻域二阶可导则二阶导数一边正一边负

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中值定理高等数学公式大赏_第2张图片

·证介值定理和积分中值定理用反证法
·证罗尔定理和拉格朗日中值定理用积分中值定理
·证柯西中值定理时令x=f(t),y=g(t),dy/dx=f’(t)/g’(t),再用拉格朗日中值定理

解析几何

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微分方程与拉氏变换高等数学公式大赏_第4张图片

·用拉氏变换求∫0+∞e-at|sinbt|dt,可用周期拉氏变换求出L(|sinbt|),再用频移求出L(e-at|sinbt|)

数列与无穷级数

概念 公式
数列的极限 ∃A,∀ε>0,∃N,n>N时│an-A│<ε ⇔ lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n→∞} nliman=A
数列极限存在条件 数列的任意子列的极限存在且相等
数列特性 数列收敛 ⇒ ⇒ 数列有界;数列极限不唯一 ⇒ ⇒ 数列发散;数列收敛且从某项以后全为正(负) ⇒ ⇒ 数列极限为正(负)
无穷级数 S= ∑ n = 1 ∞ ∑\limits_{n=1}^∞ n=1an= lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n \lim\limits_{n→∞}∑\limits_{i=1}^n nlimi=1nan
无穷级数末零性 ∑ n = 1 ∞ ∑\limits_{n=1}^∞ n=1an收敛⇒ lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n→∞} nliman=0
无穷级数线性性 ∑ n = 1 ∞ ∑\limits_{n=1}^∞ n=1an=S1 ∑ n = 1 ∞ ∑\limits_{n=1}^∞ n=1bn=S2 ∑ n = 1 ∞ ∑\limits_{n=1}^∞ n=1(k1an+k2bn)=k1S1+k2S2
无穷级数重排性 改变级数的有限项不影响其敛散性;改变收敛级数的相加顺序,其和不变
正项/交错级数 每一项都为正的级数为正项级数,一项正一项负的级数为交错级数
柯西收敛准则 ∀ε>0,∃N,当n>N时,∀p>0, ∣ ∑ i = n + 1 n + p a i ∣ \begin{vmatrix}∑\limits_{i=n+1}^{n+p}a_i\end{vmatrix} i=n+1n+pai<ε⇔ ∑ n = 1 ∞ a n ∑\limits_{n=1}^∞a_n n=1an收敛
正项放缩判别法 an≥bn lim ⁡ n → ∞ b n ‾ a n = 0 ⇒ \lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}\underline{b_n}\\a_n\end{matrix}=0⇒ nlimbnan=0∑an敛则∑bn敛,∑bn散则∑an散,注意运用调和级数 1 n \frac1n n1
正项极限判别法 对两正项级数, lim ⁡ n → ∞ a n b n ‾ = \lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}a_n\\\overline{b_n}\end{matrix}= nlimanbn=C≠0⇒∑an,∑bn同敛散;非正项级数不适用,如 ( − 1 ) n ‾ n + 1 n : ( − 1 ) n ‾ n \begin{matrix}\underline{(-1)^n}\\\sqrt n\end{matrix}+\frac1n:\begin{matrix}\underline{(-1)^n}\\\sqrt n\end{matrix} (1)nn +n1:(1)nn
正项比值判别法 lim ⁡ n → ∞ a n + 1 ‾ a n < 1 \lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{matrix}<1 nliman+1an<1则级数收敛, lim ⁡ n → ∞ a n + 1 ‾ a n > 1 \lim\limits_{n→∞}\begin{matrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{matrix}>1 nliman+1an>1则级数发散
正项根值判别法 lim ⁡ n → ∞ a n n < 1 \lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{a_n}<1 nlimnan <1则级数收敛, lim ⁡ n → ∞ a n n > 1 \lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{a_n}>1 nlimnan >1则级数发散
正项积分判别法 ∑ n = k ∞ ∑\limits_{n=k}^∞ n=kan ∫ k ∞ ∫_k^∞ ka(x)dx同敛散
正项p-判别法 ∃p>1, lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n→∞} nlimnpan=C⇒∑an收敛;∃p≤1, lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n→∞} nlimnpan≠0⇒∑an发散
莱布尼茨判别法 交错级数的绝对值单调不增且 lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n→∞} nliman=0⇒该级数收敛且 ∑ n = k + 1 ∞ ∑\limits_{n=k+1}^∞ n=k+1│an│≤│ak
绝对/条件收敛 ∑│an│敛则绝对收敛,∑an敛而∑│an│散则条件收敛
任意级数通性 ∑│an│敛⇒∑an敛;任意级数有 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ‾ a n ∣ > 1 \lim\limits_{n→∞}\begin{vmatrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{vmatrix}>1 nliman+1an>1 lim ⁡ n → ∞ │ a n │ n > 1 \lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{│a_n│}>1 nlimnan >1则发散
幂级数与和函数 S(x)= ∑ n = 0 ∞ ∑\limits_{n=0}^∞ n=0an(x-a)n,x∈收敛域
求收敛半径 未缺项时 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 ‾ a n ∣ = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = 1 R ‾ \lim\limits_{n→∞}\begin{vmatrix}\begin{matrix}\underline{a_{n+1}}\\a_n\end{matrix}\end{vmatrix}=\lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{\begin{vmatrix}a_n\end{vmatrix}}=\begin{matrix}1\\\overline R\end{matrix} nliman+1an=nlimnan =1R,缺项时 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + k ‾ a n ∣ = 1 R k ‾ \lim\limits_{n→∞}\begin{vmatrix}\begin{matrix}\underline{a_{n+k}}\\a_n\end{matrix}\end{vmatrix}=\begin{matrix}1\\\overline{R^k}\end{matrix} nliman+kan=1Rk
幂级数收敛区间 幂级数在a点展开,收敛半径为R时,收敛区间=(a-R,a+R)
幂级数收敛域 收敛域 = 收敛区间 ∪ 收敛端点
幂级数阿贝敛理 ∑ n = 0 ∞ ∑\limits_{n=0}^∞ n=0an(x-a)n在b点收敛⇒│x-a│<│b-a│时该级数绝对收敛
幂级数阿贝散理 ∑ n = 0 ∞ ∑\limits_{n=0}^∞ n=0an(x-a)n在b点发散⇒│x-a│>│b-a│时该级数发散
复合收敛半径 两个在同一点展开的级数相加或相乘后,新级数的R=min(R1,R2)
幂级数的连续性 幂级数的和函数在其收敛域内连续
逐项求导与积分 S’(x)= ∑ n = 1 ∞ ∑\limits_{n=1}^∞ n=1nan(x-a)n-1,求导后仅收敛区间不变; ∫ 0 x ∫_0^x 0xS(t)dt= ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 ‾ x n + 1 ∑\limits_{n=0}^∞\begin{matrix}a_n\\\overline{n+1}\end{matrix}x^{n+1} n=0ann+1xn+1
泰勒级数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) ‾ n ! ( x − x 0 ) n , f ( n + 1 ) ( ξ ) ‾ ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 f(x)=∑\limits_{n=0}^∞\begin{matrix}\underline{f^{(n)}(x_0)}\\n!\end{matrix}(x-x_0)^n,\begin{matrix}\underline{f^{(n+1)}(ξ)}\\(n+1)!\end{matrix}(x-x_0)^{n+1} f(x)=n=0f(n)(x0)n!(xx0)nf(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1为拉格朗日余项, o ( x n ) o(x^n) o(xn)为皮亚诺余项
泰勒级数使用条件 f(x)在x=x0的某邻域内可泰勒展开⇔f(x)在该邻域内具有任意阶导数,余项 lim ⁡ n → ∞ \lim\limits_{n→∞} nlimRn(x)=0
麦克劳林级数 f(x) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) ‾ n ! x n ∑\limits_{n=0}^∞\begin{matrix}\underline{f^{(n)}(0)}\\n!\end{matrix}x^n n=0f(n)(0)n!xn
幂级数唯一性 在x=x0的某邻域有 ∑ n = 0 ∞ ∑\limits_{n=0}^∞ n=0an(x-a)n = ∑ n = 0 ∞ ∑\limits_{n=0}^∞ n=0bn(x-b)n⇔ai=bi
常用展开式 见另一篇博客
狄利克雷条件 周期函数 f ( x ) f(x) f(x)在一个周期内连续,或只有有限个第一类间断点和极值,且绝对可积
傅里叶级数 f ( x ) = a 0 ‾ 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ 2 π n T x + b n sin ⁡ 2 π n T x ) , { a 0 = 2 T ∫ a a + T f ( x ) d x a n = 2 T ∫ a a + T f ( x ) cos ⁡ 2 π n T x d x b n = 2 T ∫ a a + T f ( x ) sin ⁡ 2 π n T x d x f(x)=\begin{matrix}\underline{a_0}\\2\end{matrix}+∑\limits_{n=1}^∞(a_n\cos\frac{2πn}Tx+b_n\sin\frac{2πn}Tx), \left\{\begin{matrix}a_0=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\mathrm dx\\a_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\cos\frac{2πn}Tx\mathrm dx\\b_n=\frac2T∫\limits_a^{a+T}f(x)\sin\frac{2πn}Tx\mathrm dx\end{matrix}\right. f(x)=a02+n=1(ancosT2πnx+bnsinT2πnx),a0=T2aa+Tf(x)dxan=T2aa+Tf(x)cosT2πnxdxbn=T2aa+Tf(x)sinT2πnxdx
傅里叶级数特性 f(x)在某区间内满足狄利克雷条件即可“傅展”,展后为以被展区间为周期的周期函数
狄利克雷收敛定理 在f(x)的间断点x=a处,其傅里叶级数收敛于 f ( a − ) + f ( a + ) ‾ 2 \begin{matrix}\underline{f(a^-)+f(a^+)}\\2\end{matrix} f(a)+f(a+)2
倒数平方和 在[-π,π]上将f(x)=│x│展开成傅里叶级数,可算出 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ‾ = π 2 ‾ 6 \sum\limits_{n=1}^∞\begin{matrix}1\\\overline{n^2}\end{matrix}=\begin{matrix}\underline{π^2}\\6\end{matrix} n=11n2=π26

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