第一类和第二类Chebyshev多项式

注：本文的内容主要根据文末中的参考文档中的内容进行整理完成。

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在微分方程的研究中，数学家提出Chebyshev微分方程：
$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0,\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-3x{y}^{\prime }+n(n+2)y=0,\text{\hspace{1em}(2)}$$
第一类和第二类Chebyshev多项式分别对应上述两个方程的解。

1. 第一类与第二类Chebyshev多项式初识

1.1 第一类Chebyshev多项式

• 递推公式：
  $$\begin{array}{rl}& T_0(x)=1;\\ & T_1(x)=x;\\ & T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
• 母函数：
  $$\sum _{n=0}^{\infty }{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2},\text{\hspace{1em}(4)}$$
• 带权正交性： 权函数为$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，($T_n(x)$是区间[-1,1]上的正交多项式系)
  $${\int }_{-1}^1{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m;\\ \pi ,& n=m=0;\\ \pi /2,& n=m\ne 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

1.2 第二类Chebyshev多项式

• 递推公式：
  $$\begin{array}{rl}& U_0(x)=1;\\ & U_1(x)=2x;\\ & U_{n+1}(x)=2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
• 母函数：
  $$\sum _{n=0}^{\infty }{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2},\text{\hspace{1em}(7)}$$
• 带权正交性： 权函数为$\sqrt{1-x^2}$, ($U_n(x)$也是区间[-1,1]上的正交多项式系)
  $${\int }_{-1}^1{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m;\\ \pi /2,& n=m.\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

1.3 两类Chebyshev多项式的双重递归关系

两类Chebyshev多项式之间有如下关系：
$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}{T}_n(x)=n{U}_{n-1}(x),n=1,\cdots ,\\ & T_n(x)=\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)),\\ & T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x),\\ & T_n(x)=U_n(x)-x{U}_{n-1}(x).\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

对每个非负整数$n$， $T_n(x)$和$U_n(x)$都为$n$次多项式，并且

• 当$n$为偶数时，它们是关于$x$的偶函数，在写成关于$x$的多项式时只有偶次项；
• 当$n$为奇数时，它们是关于$x$的奇函数，在写成关于$x$的多项式时只有奇次项。

可用公式描述其奇偶性：
$$\begin{array}{rl}& T_n(x)=(-1{)}^n{T}_n(-x),\\ & U_n(x)=(-1{)}^n{U}_n(-x).\end{array}$$

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2. 第一类Chebyshev多项式性质与应用

令$x=\cos (\theta )$, 则$T_n(x)=\cos (n\theta )$或$T_n(x)=\cos (n\arccos x),(-1\le x\le 1)$ 为$n$次Chebyshev多项式。

2.1 第一类Chebyshev多项式的性质

2.1.1 Chebyshev多项式的零点

$T_n(x)$在$[-1,1]$中有$n$个单根，分别为$x_k=\cos (\frac{2k-1}{2n}\pi ),k=1,2,\cdots ,n$（或$x_k=\cos (k+\frac{1}{2})\frac{\pi }{n},k=0,1,\cdots ,n-1$）.

说明：当$n$确定的情况下， 只需令$x=\cos \theta ,0\le \theta \le \pi ,-1\le x\le 1$,
$\theta =\pi /2n,3\pi /2n,\cdots ,(2k-1)\pi /2n,\cdots ,(2n-1)\pi /2n$时， $\cos n\theta =0$.

2.1.2 Chebyshev多项式的极值点

$T_n(x)$在$[-1,1]$中有$n+1$个极值点，为$x_k=\cos (\frac{k}{n}\pi ),k=0,1,\cdots ,n$, 且对于每个极值点，其极值为$T_n(x_k)=(-1{)}^k$.

说明： $\theta =0,\pi /n,2\pi /n,\cdots ,k\pi /n,\cdots ,\pi$时，$\cos n\theta =1,-1,1,-1,\cdots ,(-1{)}^n$.

所以，在$[-1,1]$上，Chebyshev多项式有$n$个单根和$n+1$个极值点.

2.1.3 无穷范数下$0$的最佳逼近

任意给定$n$次多项式$f$， 首项系数为$1$， 那么一定有一个$x_0\in [-1,1]$，使得$|f(x_0)|\ge \frac{1}{2^{n-1}}$.

证明： 考虑$2^{n-1}f(x)=F(x)$,
利用反证法，若$x\in [-1,1]$，$F(x)<1$,
引入$n$次Chebyshev多项式$g(x)$,
已知$x=1,\cos (\pi /n),\cos (2\pi /n),\cdots ,\cos (k\pi /n),\cdots ,-1$这$n+1$个点上$|g(x)|=1$，且正负不断交替。
因此，$F(x)-g(x)$是$n-1$次多项式，且在上述$n+1$个点上不断变换符号。由介值定理知，存在$y_1,y_2,\cdots ,y_n$使得$F(y_k)=g(y_k)$.
对于，$n-1$次多项式，有$n$个零点，所以
$$F(x)\equiv g(x)$$
而Chebyshev多项式$g(x)$在$[-1,1]$上最大值为$1$,所以与假设矛盾。
进一步地，当且仅当$F(x)$为首1的Chebyshev多项式时，$|F(x)|$最大值等于$\frac{1}{2^{n-1}}$.

因此， 在区间$[-1,1]$上所有的首1的$n$次多项式中，$2^{1-n}{T}_n(x)$对零的偏差最小，即
$$\Vert f_n(x){\Vert }_{\infty }\ge \Vert 2^{1-n}{T}_n{\Vert }_{\infty }=2^{1-n},$$
其中$f_n(x)$是任一首1的$n$次多项式。

2.1.4 其它一些性质汇总

• 第一类和第二类Chebyshev多项式都是Jacobi正交多项式的特殊形式[7], Jabobi 权函数的形式为：
  $$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta },x\in [-1,1],\alpha >-1,\beta >-1.$$
  • 当$\alpha =\beta =0$时，权函数为$1$，是Legendre正交多项式的权函数；
  • 当$\alpha =\beta =-\frac{1}{2}$时，权函数为$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, 是第一类Chebyshev正交多项式的权函数；
  • 当$\alpha =\beta =\frac{1}{2}$时，权函数为$\sqrt{1-x^2}$，是第二类Chebyshev正交多项式的权函数。
• $T_n(x)$是$n$次多项式，且最高项系数为$2^{n-1}$;
• 当$|x|\le 1$时，$|T_n(x)|\le 1.$
• 导数形式的递推关系，如下：
  $$2T_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}{T}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{d}{dx}{T}_{n-1}(x),n=1,2,\cdots$$
• 文献[5] (p.5)指出¹
  $$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n}{2},x\ge -1.$$
• 文献[6]利用了类似上述的结论：
  $$T_q(x)=\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}^q+{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)}^q}{2},x\ge 1\\ \cos (q\arccos (x)),-1\le x\le 1\end{array}$$

2.2 第一类Chebyshev多项式的应用

2.2.1 近似最佳一致逼近多项式(可以给定插值逼近方法中的节点选取)

(notes:本部分内容结合[3]和[4])

• 设$f(x)$为定义在区间$[-1,1]$上的函数.
  并设$f(x)$具有$(n+1)$阶连续导数$f^{(n+1)}(x)$。 给定区间$[-1,1]$内的$(n+1)$个互异点$x_0,x_1,\cdots ,x_n$作为插值节点，作$f(x)$的$n$次插值多项式：
  $$L_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\prod _{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j},$$
  则插值余项为
  $$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}{W}_{n+1}(x),$$
  其中，$W_{n+1}(x)={\prod }_{i=0}^n(x-x_i),\zeta \in (-1,1)$。
  要使构造的插值多项式$L_n(x)$最优地逼近$f(x)$，也就是要使插值余项$R_n(x)$最小化。然而，余项$R_n(x)$的计算很复杂，一个替换思路是：最小化余项$|R_n(x)|$的最大值，也即
  $$\underset{x_0,\cdots ,x_n}{\min }\underset{x\in [-1,1]}{\max }|R_n(x)|$$
  实质上（前部分因子与$x_i$的选择无关，是定值），也就是最小化$W_{n+1}(x)$的最大值，即
  $$\underset{x_0,\cdots ,x_n}{\min }\underset{x\in [-1,1]}{\max }|W_{n+1}(x)|.$$
  由于$W_{n+1}(x)$是首1的$n+1$次多项式，要使在区间$[-1,1]$上$\Vert W_{n+1}\Vert$为最小，由2.1.3小节可知，插值节点应取$(n+1)$次Chebyshev多项式$T_{n+1}(x)$的零点，
  $$x_k=\cos (k+\frac{1}{2})\frac{\pi }{n+1},(k=0,1,\cdots ,n)$$
  则
  $$\begin{array}{rl}\underset{-1\le x\le 1}{\max }|f(x)-L_n(x)|& \le \frac{1}{(n+1)!}\underset{-1\le x\le 1}{\max }|f^{(n+1)}(x)|\cdot \underset{-1\le x\le 1}{\max }|W_{n+1}(x)|\\ & =\frac{1}{(n+1)!}\underset{-1\le x\le 1}{\max }|f^{(n+1)}(x)|\cdot \underset{-1\le x\le 1}{\max }|2^{-n}{T}_{n+1}(x)|\\ & =\frac{2^{-n}}{(n+1)!}\underset{-1\le x\le 1}{\max }|f^{(n+1)}(x)|\end{array}$$

• 设$f(x)$为定义在区间$[a,b]$上的函数.
  可作变量代换 ²
  $$x_i=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}{t}_i,(i=0,1,\cdots ,n)$$
  则
  $$\begin{array}{rl}\underset{a⩽x⩽b}{\max }\mid & f(x)-L_n(x)\mid \\ & =\underset{a⩽x⩽b}{\max }\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n\left(x-x_i\right)\right|\\ & ⩽\frac{1}{(n+1)!}\underset{a⩽x⩽b}{\max }\left|f^{(n+1)}(x)\right|\cdot \underset{a⩽x⩽b}{\max }\left|\prod _{i=0}^n\left(x-x_i\right)\right|\\ & =\frac{1}{(n+1)!}\underset{a⩽x⩽b}{\max }\left|f^{(n+1)}(x)\right|\cdot \underset{-1⩽k⩽1}{\max }\left|{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1}\prod _{i=0}^n\left(t-t_i\right)\right|\end{array}$$
  当$t_0,t_1,\cdots ,t_n$为$T_{n+1}(t)$的$(n+1)$个零点，即$t_i=\cos (i+\frac{1}{2})\frac{\pi }{n+1}(i=0,1,\cdots ,n)$时，${\max }_{-1\le x\le 1}|{\prod }_{i=0}^n(t-t_i)|$取得最小值$2^{-n}$。因而当插值点取为
  $$x_i=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cos (i+\frac{1}{2})\frac{\pi }{n+1}(i=0,1,\cdots ,n),\text{\hspace{1em}(10)}$$
  有下列余项估计式
  $$\begin{array}{l}{\max }_{a⩽x⩽b}\left|f(x)-L_n(x)\right|\\ ⩽\frac{1}{(n+1)!}{\max }_{a⩽x⩽b}\left|f^{(n+1)}(x)\right|\cdot {\max }_{-1⩽k⩽1}\left|{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1}{2}^{-n}{T}_{n+1}(t)\right|\\ ={\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1}\cdot \frac{2^{-n}}{(n+1)!}{\max }_{a⩽x⩽b}\left|f^{(n+1)}(x)\right|\end{array}$$
  以公式(10)中的$x_0,x_1,\cdots ,x_n$作为插值节点求得的$f(x)$的$n$次插值多项式$L_n(x)$虽不能作为$f(x)$的$n$次最佳一致逼近多项式，但由于误差分布比较均匀，可以作为$f(x)$的$n$次近似最佳一致逼近多项式。

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延伸阅读

一般正交多项式性质
初识Chebyshev多项式

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参考文献：
[1]https://baike.baidu.com/item/%E5%88%87%E6%AF%94%E9%9B%AA%E5%A4%AB%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F/9390867?fr=kg_general
[2]https://wenku.baidu.com/view/d7b06e35a000a6c30c22590102020740bf1ecd53.html
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/141957872
[4] 孙志忠，袁慰平，闻震初. 数值分析(第3版)，东南大学出版社.
[5] Theodore J.Rivlin. Chebyshev Polynomials: From approximation theory to Algebra and number theory (Second Edition), 1990
[6] Li Hanyu, Zhu Yuanyang. Randomized block krylov space methods for trace and log-determinant estimators. BIT Numerical Mathematics (2021) 61:911–939.
[7] Walter Gautschi. Orthogonal polynomials, Quadrature, and Approximation: Computational methods and software (in Matlab)

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1. 当$x\in [-1,1]$时,
   由于 $T_n(x)=\cos n\theta$, $x=\cos \theta$, 而 $\cos n\theta =\frac{e^{in\theta }+e^{-in\theta }}{2}$,可验证$e^{in\theta }=x+\sqrt{x^2-1},e^{-in\theta }=x-\sqrt{x^2-1}$,所以
   $$T_n(x)=\cos n\theta =\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n}{2},（x\in [-1,1]）$$
   当$x\ge 1$时，[5]中习题1.1.2指出
   $$T_n(x)=\cosh nt,$$
   其中 $x=\cosh t,t\ge 0$.
   由于$\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$,可知
   $$e^t+e^{-t}=2x$$
   求解可得
   $$e^t=x+\sqrt{x^2-1}$$
   进一步可得， $e^{-t}=x-\sqrt{x^2-1}$。因此
   $$T_n(x)=\cosh nt=\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n}{2},x\ge 1.$$
   综上，可得
   $$T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n}{2},x\ge -1.$$ ↩︎

2. 通过变量代换，
   $$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t$$
   定义在区间$[a,b]$上的函数$f(x)$化为定义在区间$[-1,1]$上的函数
   $$g(t)=f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t).$$
   此时，找到$g(t)$在$[-1,1]$上的零点$t_i$，也即找到了$f(x)$在$[a,b]$上的零点$x_i$。 ↩︎