线性引力论和牛顿极限

线性引力论

众所周知的爱因斯坦场方程
$$R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}=8\pi T_{ab}$$
是个高度非线性的二阶偏微分方程组，求解一般是很困难的。但在某些限定条件下，方程可以得到简化。

弱场条件

所谓弱场条件，是指时空度规$g_{ab}$接近闵氏度规${\eta }_{ab}$. 用式子表示就是
$$g_{ab}={\eta }_{ab}+{\gamma }_{ab}$$
其中${\gamma }_{\mu \nu }$的2阶项小到可以忽略。为满足$g^{ab}{g}_{bc}={\delta }^a{}_c$，我们需要令
$$g^{ab}={\eta }^{ab}-{\gamma }^{ab}$$
设${\partial }_a$是与${\eta }_{ab}$适配的导数算符，则Christoffel符号的表达式
$${\Gamma }^c{}_{ab}=\frac{1}{2}{g}^{cd}({\partial }_a{g}_{bd}+{\partial }_b{g}_{ad}-{\partial }_d{g}_{ab})$$
在上述条件下就对应于
$${\Gamma }^c{}_{ab}=\frac{1}{2}{\eta }^{cd}({\partial }_a{\gamma }_{bd}+{\partial }_b{\gamma }_{ad}-{\partial }_d{\gamma }_{ab})$$
下面计算上述条件下黎曼张量的表达式
$$R_{abc}{}^d=-2{\partial }_{[a}{\Gamma }^d{}_{b]c}+2{\Gamma }^e{}_{c[a}{\Gamma }^d{}_{b]e}$$
首先${\Gamma }^e{}_{c[a}{\Gamma }^d{}_{b]e}$是二阶项，因此可以忽略。而$-2{\partial }_a{\Gamma }^d{}_{bc}=-{\eta }^{de}({\partial }_a{\partial }_b{\gamma }_{ce}+{\partial }_c{\partial }_a{\gamma }_{be}-{\partial }_e{\partial }_a{\gamma }_{bc})$，取反称后第一项为0，于是就有线性黎曼张量
$$R_{abc}{}^d={\partial }^d{\partial }_{[a}{\gamma }_{b]c}-{\partial }_c{\partial }_{[a}{\gamma }_{b]}{}^d$$
其中${\partial }^d\equiv {\eta }^{de}{\partial }_e$. 而里线性奇张量就表示为
$$\begin{array}{rl}{R}_{ac}& ={\partial }^b{\partial }_{[a}{\gamma }_{b]c}-{\partial }_c{\partial }_{[a}{\gamma }_{b]}{}^b\\ & =\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }_a{\gamma }_{bc}-\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }_b{\gamma }_{ac}-\frac{1}{2}{\partial }_c{\partial }_a{\gamma }_b{}^b+\frac{1}{2}{\partial }_c{\partial }_b{\gamma }_a{}^b\\ & ={\partial }^b{\partial }_{(a}{\gamma }_{c)b}-\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }_b{\gamma }_{ac}-\frac{1}{2}{\partial }_a{\partial }_c\gamma \end{array}$$
其中最后一步用到${\partial }_b{\gamma }_a{}^b={\partial }^b{\gamma }_{ab}$以及${\gamma }_{ab}$的对称性，$\gamma \equiv {\gamma }_a{}^a$. 此时标量曲率
$$\begin{array}{rl}R& =\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }_a{\gamma }^a{}_b+\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }^a{\gamma }_{ab}-\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }_b\gamma -\frac{1}{2}{\partial }_a{\partial }^a\gamma \\ & ={\partial }^a{\partial }^b{\gamma }_{ab}-{\partial }^a{\partial }_a\gamma \end{array}$$
于是我们得到线性爱因斯坦场方程
$${\partial }^c{\partial }_{(a}{\gamma }_{b)c}-\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_c{\gamma }_{ab}-\frac{1}{2}{\partial }_a{\partial }_b\gamma -\frac{1}{2}{\eta }_{ab}({\partial }^c{\partial }^d{\gamma }_{cd}-{\partial }^c{\partial }_c\gamma )=8\pi T_{ab}$$
令${\bar{\gamma }}_{ab}={\gamma }_{ab}-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}\gamma$，上式还可以继续化简为
$$\begin{array}{rl}8\pi T_{ab}& ={\partial }^c{\partial }_{(a}{\bar{\gamma }}_{b)c}+\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_{(a}{\eta }_{b)c}\gamma -\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_c{\bar{\gamma }}_{ab}-\frac{1}{4}{\partial }^c{\partial }_c{\eta }_{ab}\gamma -\frac{1}{2}{\partial }_a{\partial }_b\gamma -\frac{1}{2}{\eta }_{ab}({\partial }^c{\partial }^d{\bar{\gamma }}_{cd}+\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }^d{\eta }_{cd}\gamma -{\partial }^c{\partial }_c\gamma )\\ & ={\partial }^c{\partial }_{(a}{\bar{\gamma }}_{b)c}-\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_c{\bar{\gamma }}_{ab}-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}{\partial }^c{\partial }^d{\bar{\gamma }}_{cd}\end{array}$$
用${\partial }^b$作用到上式，得
$$8\pi {\partial }^b{T}_{ab}=\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_a{\partial }^b{\bar{\gamma }}_{bc}+\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_b{\partial }^b{\bar{\gamma }}_{ac}-\frac{1}{2}{\partial }^b{\partial }^c{\partial }_c{\bar{\gamma }}_{ab}-\frac{1}{2}{\partial }_a{\partial }^c{\partial }^d{\bar{\gamma }}_{cd}=0$$
这表明线性引力论中能动张量的散度为零，从而保证了各种守恒律。

规范变换

令${\tilde{\gamma }}_{ab}\equiv {\gamma }_{ab}+2{\partial }_{(a}{\xi }_{b)}$，因为
$${\partial }^d{\partial }_a{\partial }_{(b}{\xi }_{c)}-{\partial }^d{\partial }_b{\partial }_{(a}{\xi }_{c)}-{\partial }_c{\partial }_a{\partial }_{(b}{\xi }_{e)}{\eta }^{ed}+{\partial }_c{\partial }_b{\partial }_{(a}{\xi }_{e)}{\eta }^{ed}=0$$
容易发现${\tilde{\gamma }}_{ab}$与${\gamma }_{ab}$对应相同的线性黎曼曲率张量，因此若${\gamma }_{ab}$是线性爱因斯坦场方程的解，则${\tilde{\gamma }}_{ab}$也是。这被称作线性引力论的规范变换。现在我们做这样一种规范变换，使得${\partial }^b{\bar{\gamma }}_{ab}=0$. 如果${\bar{\gamma }}_{ab}$不满足此条件，由
$$\begin{array}{rl}{\partial }^b{\widetilde{\stackrel{ˉ}{\gamma }}}_{ab}& ={\partial }^b{\tilde{\gamma }}_{ab}-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}\tilde{\gamma }\\ & ={\partial }^b{\gamma }_{ab}+{\partial }^b{\partial }_a{\xi }_b+{\partial }^b{\partial }_b{\xi }_a-\frac{1}{2}{\partial }^b{\eta }_{ab}{\eta }^{cd}({\gamma }_{cd}+{\partial }_c{\xi }_d+{\partial }_d{\xi }_c)\\ & ={\partial }^b{\bar{\gamma }}_{ab}+{\partial }^b{\partial }_b{\xi }_a\end{array}$$
可知我们只需找一个$\xi$满足
$$-{\partial }^b{\bar{\gamma }}_{ab}={\partial }^b{\partial }_b{\xi }_a$$
即可使${\partial }^b{\widetilde{\stackrel{ˉ}{\gamma }}}_{ab}=0$. 而给定${\bar{\gamma }}_{ab}$后这个方程是非齐次波动方程，它的解总是存在的。此时线性爱因斯坦方程就进一步简化为
$${\partial }^c{\partial }_c{\bar{\gamma }}_{ab}=-16\pi T_{ab}$$

牛顿极限

低速条件

所谓低速条件，具体来说是指：

1. 因为速度很小，所以动量密度很小可以忽略。此外3维应力与质量密度比较也可以忽略(例如地心压强只有密度的$10^{-10}$倍)。于是能动张量$T_{ab}$可以在某个惯性坐标系中表示为
   $$T_{ab}\simeq \rho (dt{)}_a(dt{)}_b$$
2. 因为速度很小，此引力源导致的时空几何变化缓慢，故
   $$\frac{\partial {\bar{\gamma }}_{\mu \nu }}{\partial t}\simeq 0$$
3. 因为速度很小，其4速近似于惯性观者的四速$T^a\equiv (\frac{\partial }{\partial t}{)}^a$，即
   $$U^a\simeq T^a$$

在上述条件下，线性爱因斯坦方程就简化为
$$\begin{array}{rl}{\nabla }^2{\bar{\gamma }}_{00}& =-16\pi \rho \\ {\nabla }^2{\bar{\gamma }}_{0i}& =0\\ {\nabla }^2{\bar{\gamma }}_{ij}& =0\end{array}$$
后两式的解为常数，可以借助规范变换把这常数变为0，因此${\bar{\gamma }}_{\mu \nu }$的唯一非零分量为${\bar{\gamma }}_{00}$. 今令
$$\varphi =-\frac{1}{4}{\bar{\gamma }}_{00}$$
上述方程就成为牛顿引力论中的泊松方程
$${\nabla }^2\varphi =4\pi \rho$$
上述结论也可以用张量等式表达为
$${\bar{\gamma }}_{ab}={\bar{\gamma }}_{00}(dt{)}_a(dt{)}_b=-4\varphi (dt{)}_a(dt{)}_b$$
于是
$$\bar{\gamma }={\eta }^{ab}{\bar{\gamma }}_{ab}={\bar{\gamma }}_{00}{\eta }^{ab}(dt{)}_a(dt{)}_b=-{\bar{\gamma }}_{00}=4\varphi$$
而
$$\gamma ={\eta }^{ab}{\gamma }_{ab}={\eta }^{ab}{\bar{\gamma }}_{ab}+\frac{1}{2}{\eta }^{ab}{\eta }_{ab}\gamma =\bar{\gamma }+2\gamma$$
故$\gamma =-\bar{\gamma }$，于是我们求得
$${\gamma }_{ab}={\bar{\gamma }}_{ab}-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}\bar{\gamma }=-\varphi [4(dt{)}_a(dt{)}_b+2{\eta }_{ab}]$$

测地线方程

如果曲线切矢沿线平移，则称该曲线为测地线，即
$$T^b{\nabla }_a{T}^a=0$$
该方程称为测地线方程。选取坐标系后，上述方程可以表达为
$$T^b({\partial }_b{T}^a+{\Gamma }^a{}_{bc}{T}^c)=0$$
写成分量形式就是
$$\frac{d{T}^{\mu }}{dt}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\nu \sigma }{T}^{\nu }{T}^{\sigma }=0$$
设$x=x(t)$是上述曲线的参数式，则上式又可以改写为
$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{t}^2}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\nu \sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{dt}\frac{d{x}^{\sigma }}{dt}=0$$

此方程在低速条件下近似为
$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{t}^2}=-{\Gamma }^{\mu }{}_{00}$$
注意到${\gamma }_{00}=-2\varphi ,{\gamma }_{j0}={\bar{\gamma }}_{j0}+\frac{1}{2}{\eta }_{j0}\gamma =0$，考虑${\Gamma }^{\mu }{}_{00}$的分量，就有
$$\begin{gathered} {\Gamma }^0{}_{00}=\frac{1}{2}{\eta }^{00}({\gamma }_{00,0}+{\gamma }_{00,0}-{\gamma }_{00,0})=-\frac{1}{2}\frac{\partial {\gamma }_{00}}{\partial t}\simeq 0 \\ {\Gamma }^i{}_{00}=\frac{1}{2}{\eta }^{ij}({\gamma }_{j0,0}+{\gamma }_{0j,0}-{\gamma }_{00,j})\simeq -\frac{1}{2}{\eta }^{ij}{\gamma }_{00,j}=-\frac{1}{2}\frac{\partial {\gamma }_{00}}{\partial x^i} \end{gathered}$$
于是测地线方程近似为
$$a=\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=-\frac{\partial \varphi }{\partial x^i}=-\nabla \varphi$$
这正是牛顿引力论中只受引力的质点的运动方程。

由$g_{00}={\eta }_{00}+{\gamma }_{00}=-(1+2\varphi )$得
$$\varphi =-\frac{1}{2}(1+g_{00})$$
这反映了牛顿近似下度规分量$g_{00}$同牛顿引力势的密切关系。