分块矩阵行列式的性质证明

性质

性质一

$$\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \ast \\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \ast & \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|$$

性质二

设$\mathbf{A},\mathbf{B}$分别是m阶和n阶矩阵,则
$$\left|\begin{array}{ll}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|$$

证明

证明一

对于性质一，我们只证
$$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \ast & \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|$$
其他同理可得
设
$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}& & & \\ ⋮& & ⋮& & 0& \\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}& & & \\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& b_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& \cdots & c_{nk}& b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$
$$D_1=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|$$
$$D_2=\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$
通过行变换把$D_1$化成下三角行列式
$$D_1=\left|\begin{array}{ccc}{p}_{11}& & 0\\ ⋮& \ddots & \\ p_{k1}& \cdots & p_{kk}\end{array}\right|=p_{11}\cdots p_{kk}$$
同理，通过列变换把$D_2$也化成下三角行列式
$$D_2=\left|\begin{array}{ccc}{q}_{11}& & 0\\ ⋮& \ddots & \\ q_{n1}& \cdots & q_{nn}\end{array}\right|=q_{11}\cdots q_{nn}$$
对行列式$D$的前$k$行进行行变换，后n列进行列变换成
$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{p}_{11}& & & & & \\ ⋮& \ddots & & & 0& \\ p_{k1}& \cdots & p_{kk}& & & \\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& q_{11}& & \\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & \\ c_{n1}& \cdots & c_{nk}& q_{n1}& \cdots & q_{un}\end{array}\right|$$
由下三角行列式的性质可得
$$D=D_1{D}_2$$

证明二

设想将$\left|\begin{array}{ll}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|$变为$k\cdot \left|\begin{array}{ll}\mathbf{B}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{A}\end{array}\right|$的形式，然后用性质一即可解决。
用冒泡排序的思想将$\mathbf{B}$中的每一行依次与$\mathbf{A}$中的每一行交换，即可将$\mathbf{B}$冒上去，这样总共进行了$mn$次交换，由行列式的性质可得，行列式中任意交换两行要变号，所以
$$\left|\begin{array}{ll}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\left|\begin{array}{ll}\mathbf{B}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{A}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|$$
补充：各种排序算法的动画演示
以下为本文用到的冒泡排序的描述与动画演示

参考文献

[1]同济大学数学系. 工程数学线性代数[M]. 高等教育出版社，2018
[2]朱灵 毕道旺. 线性代数[M]. 北京邮电出版社，2019
[3]汤家凤. 线性代数辅导讲义[M]. 中国原子能出版社，2018
[4]https://blog.csdn.net/xiaoxiaojie12321/article/details/81380834

答疑

将$D_1$化成下三角的过程中，只对前k行进行行变换。
将$D_2$化成下三角的过程中，只对后n列进行列变换。
并不会改变D左下角c的部分。
举个例子
$$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 2\\ 5& 0& 6& 2\end{array}\right|\stackrel{r_1+r_2}{}\left|\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 2\\ 5& 0& 6& 2\end{array}\right|\stackrel{c_4-\frac{2}{3}{d}_3}{}\left|\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 0\\ 5& 0& 6& -2\end{array}\right|=5\times \left(-1\right)\times 3\times \left(-2\right)=30$$