浅谈线性规划：No.1 引言 & 图解法
目录
一、 引言
二、线性规划基本概念
1. 三个基本要素
2. 模型假定
3.线性规划解的特性
3. 线性规划的基本特征
三、图解法
1. 确定可行域
2. 求得最优解
3. 线性规划解的可能
在运筹学课堂接触到了线性规划及相关概念，谨以此文作为课堂笔记与课件的整理与复习，并希望能与各位交流，在不当之处得到指正。本系列将会持续更新，欢迎大家关注！
一、 引言
举一个煎蛋的栗子，引入线性规划相关的概念：
生产甲乙产品，零件在A,B设备加工，最后在C设备装配。据市场分析:甲乙售价73和75元,试制定获利最大生产计划。
| 工时消耗 |
工时成本 元 / h | 生产能力 h | ||
|---|---|---|---|---|
| 甲 | 乙 | |||
| A | 2 | 0 | 20 | 16 |
| B | 0 | 2 | 15 | 10 |
| C | 3 | 4 | 10 | 32 |
首先，设甲的产量为 ，乙的产量为。我们需要明确生产获利的目标(即目标函数)：
其次，列出该规划的约束条件：
并且，我们需要注意的是，, ≥ 0。本题的目的便是在约束条件的限制下找到目标函数Z的最大值 max Z。以上便是一个线性规划的典型案例。
规划 是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优的全面、理性的计划。其中，现有的人力、物力水平，便是指 在实现某一目标的约束条件；最优的、理性的计划便需要我们根据约束条件取得目标的利益最大化(目标函数最大化)。
我们今天要研究的线性规划 便是 变量取连续值、且目标函数和约束条件均为线性的，则这类规划称为线性规划。
二、线性规划基本概念
1. 三个基本要素
线性规划的三个基本要素分别是：决策变量、目标函数以及约束条件。
决策变量：决策问题待定的量值；取值要求非负。
目标函数：衡量决策优劣的准则， 如时间最省、 利润最大、 成本最低；目标函数是决策变量的线性函数；有的目标要实现极大， 有的则要求极小。
约束条件：任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解、把各种限制条件表示为一组等式或不等式称约束条件、约束条件是决策方案可行的保障、约束条件是决策变量的线性函数。
2. 模型假定
线性规划在建模、求解的过程中也蕴含着许多假设。在这些假设的约束下，线性规划的求解才具有严密的数学推理逻辑。
1）线性化假定：在线性规划中，目标函数、约束条件均为线性的关系。实际上，在经济学中大多数函数都是非线性， 通过偏导求最优。 但在企业运营决策中， 经常考虑比较短时间内的计划安排， 通过线性化更便于应用。
2）同比例假定：决策变量变化引起目标函数和约束方程的改变量成比例(忽略了规模报酬定律)
3）可加性假定：决策变量之间对目标函数、约束条件的影响是相互独立的；目标函数值是决策变量对目标函数贡献的总和。
4）连续性假定：决策变量的取值连续
5）确定性假定：所有参数都是确定的， 不包含随机因素。
3.线性规划解的特性
1）由线性不等式组成的可行域是凸多边形。
2）可行域有有限个顶点。
3）目标函数最优值一定在可行域的边界达到。
注：线性规划的这几个特性结合图解法来理解更好哦！
3. 线性规划的基本特征
• 用一组非负的决策变量表示决策问题
• 存在一组等式或不等式的线性约束条件
• 有一个目标为决策变量的极值线性函数
三、图解法
图解法是线性规划条件的一个简单解法，但同样也适用范围较小，一般只能用于2-3个变量的线性求解。其求解过程主要分为两步：确定可行域、求得最优解。笔者讲以图解法对引言中的案例进行求解。
1. 确定可行域
首先，我们需要根据约束条件进行可行域( 满足所有约束条件的解的集合，即所有约束条件共同围成的区域)的确定。在本题，我们以为横轴、为纵轴，作出 2 = 16, 2 = 10,以及 三条直线，则此三条直线所围成的区域为可行域。
图片来源: 课堂ppt
2. 求得最优解
其次，我们作出目标函数 在图中的直线，Z 为直线的截距。直线的不断平移中，Z也在不断地变化。我们需要不断平移找到图中Z的最大值，从而得到此题的最优解。
图片来源: 课堂ppt
3. 线性规划解的可能
1）唯一最优解：只有一个最优点，即上述题解的情况。
2）多重最优解：无穷多个最优解。
图片来源: 课堂ppt
3）无界解：可行域无界，目标值无限增大，即缺少了必要的约束。
图片来源: 课堂ppt
4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集（条件自相矛盾）。
在整理完图解法后，后续将详细整理单纯形法相关知识点。