微积分常用公式表

微分、导数和积分公式对照表

序号	微分公式	导数公式	积分公式
|		幂函数
1	$\mathbf{d}(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}\mathbf{d}x$	$(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$	$\int x^{\mu }\mathbf{d}x=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C$
|		指数函数
2	$\mathbf{d}(a^x)=a^x\ln a\mathbf{d}x$	$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$	$\int a^x\mathbf{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$
3	$\mathbf{d}(e^x)=e^x\mathbf{d}x$	$(e^x{)}^{\prime }=e^x$	$\int e^x\mathbf{d}x=e^x+C$
|		对数函数
4	$\mathbf{d}({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln a}\mathbf{d}x$	$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
5	$\mathbf{d}(\ln x)=\frac{1}{x}\mathbf{d}x$	$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x}\mathbf{d}x=\ln |x|+C$
|		三角函数
6	$\mathbf{d}(\sin x)=\cos x\mathbf{d}x$	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$\int \cos x\mathbf{d}x=\sin x+C$
7	$\mathbf{d}(\cos x)=-\sin x\mathbf{d}x$	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$\int \sin x\mathbf{d}x=-\cos x+C$
8	$\mathbf{d}(\tan x)={\sec }^{2}x\mathbf{d}x$	$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	$\int {\sec }^{2}x\mathbf{d}x=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$
|
9	$\mathbf{d}(\cot x)=-{\csc }^{2}x\mathbf{d}x$	$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$	$\int {\csc }^{2}x\mathbf{d}x=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$
10	$\mathbf{d}(\sec x)=\sec x\tan x\mathbf{d}x$	$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$\int \sec x\tan x\mathbf{d}x=\sec x+C$
11	$\mathbf{d}(\csc x)=-\csc x\cot x\mathbf{d}x$	$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	$\int \csc x\cot x\mathbf{d}x=-\csc x+C$
|		反三角函数
12	$\mathbf{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathbf{d}x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$
13	$\mathbf{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathbf{d}x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
14	$\mathbf{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}\mathbf{d}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	$\int \frac{1}{1+x^2}=\arctan x+C$
15	$\mathbf{d}(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}\mathbf{d}x$	$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

积分续表

$$\int k\mathbf{d}x=kx+C,（k、C是常数）$$

$$\int \tan x\mathbf{d}x=-\ln |\cos x|+C$$

$$\int \cot x\mathbf{d}x=\ln |\sin x|+C$$

$$\int \sec x\mathbf{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

$$\int \csc x\mathbf{d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathbf{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathbf{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathbf{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathbf{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathbf{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$