SAGE(SAGEMATH)密码学基本使用方法

求逆元

inv=inverse_mod(30,1373)
print(30*inv%1373) #1

扩展欧几里得算法

d,u,v=xgcd(20,30)
print("d:{0} u:{1} v:{2}".format(d,u,v))#d:10 u:-1 v:1

孙子定理(中国剩余定理)

计算参考：
https://blog.csdn.net/destiny1507/article/details/81751168

def chinese_remainder(modulus, remainders):
    Sum = 0
    prod = reduce(lambda a, b: a*b, modulus)
    for m_i, r_i in zip(modulus, remainders):
        p = prod // m_i
        Sum += r_i * (inverse_mod(p,m_i)*p)
    return Sum % prod
chinese_remainder([3,5,7],[2,3,2]) #23

求离散对数

$$2^x\equiv 13\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23$$

x=discrete_log(mod(13,23),mod(2,23))
#或discrete_log(13,mod(2,23))
print(x)

取模求根

$$x^{22}\equiv 5\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}41$$

x=mod(5,41)
r=x.nth_root(22)

欧拉函数

print(euler_phi(71)) #70

输出表达式近似值

result=pi^2
result.numerical_approx()

素数分布（Pi(x)）

$$\frac{\pi (x)}{x/In(x)}$$

result=prime_pi(1000)/(1000/log(1000))
result.numerical_approx() #1.16050288686900

创建整数域中的椭圆曲线

$$y^2=x^3+a_{4}x+a_6$$输出所有整数点

a4=2;a6=3;F=GF(7);
E=EllipticCurve(F,[0,0,0,a4,a6])
print(E.cardinality()) #6
print(E.points()) #[(0 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 6 : 1), (3 : 1 : 1), (3 : 6 : 1), (6 : 0 : 1)]

创建点

point1=E([2,1])
point2=E([3,6])
print(point1+point2)#(6 : 0 : 1)
print(point1-point2)#(2 : 6 : 1)