计算方法(二)线性代数方程组的数值解

1. 高斯消元法

线性代数的知识,过于基础

2. 矩阵的三角分解

2.1 LU分解

主要记住,如何通过LU分解(包括接下来的杜利特尔分解也属于其中一种)来计算A x x x=b

四步法:
最初:A x x x=b
LU分解:LU x x x=b(这里分解方法看2.2)
求y:Ly=b
求x:Ux=y

2.2 杜利特尔分解

就是高斯消元的过程,每次消元的乘积数写在对应位置上得到L,高斯消元的结果是U,必考。题目一般要结合上述通过分解计算A x x x=b的方法。计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第1张图片
下图第一行为LDU分解,第二行为克洛特分解。
挺简单的,稍微看一下就好。

LDU即在杜利特尔分解的基础上将按列再进行一次高斯消元得到D和U;克洛特分解即是在最初的矩阵按列进行一次高斯消元。

所以也可以说,杜利特尔分解是L(DU),克洛特分解是(LD)U
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第2张图片

3. 消元法在计算机上的实现

3.1选主元的必要性

看下书即可,大概写的是,主要是怕主元过小,放大倍数过高,误差一下就起来了。

3.2 选主元的方法

列主元:每次从主元所在的列里选最大的,然后将最大的这一行和本来主元所在行交换。

全主元:不考

4. 向量和矩阵范数

这一节一下子背的东西多起来了。

4.1 向量范数

定义

定义我扒百度了,注意其中|| x x x||=0当且仅当 x x x=0很重要,是判断一个函数是否可以是一个范数的充分条件。
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第3张图片

性质

  1. ||0||=0
  2. ||-x||=|-1|*||x||=||x||
  3. ||x-y||≥||x||-||y||

常见三种向量范数:1,2,∞

计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第4张图片

等价性

如果你愿意看,还可以看一下向量范数的等价性。

|| x x x|| ∞ _{∞} ≤ || x x x|| 2 _{2} 2 n \sqrt{n} n *|| x x x|| ∞ _{∞}

|| x x x|| ∞ _{∞} ≤ || x x x|| 1 _{1} 1 n n n*|| x x x|| ∞ _{∞}

我是觉得看不看都ok了

收敛性

划重点的时候强调了,收敛性也要会

收敛的充分条件:
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第5张图片

收敛的充要条件:
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第6张图片

4.2 矩阵范数

同样也是,正定性、齐次性、三角不等式三个性质,只不过矩阵用AB,向量用xy而已。

题里出过求矩阵范数,所以还是要记一下这些常见的矩阵范数。
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第7张图片

4.3 谱半径

在这里插入图片描述
λ是A的特征值,谱半径就是求按模最大的特征值

P.S. 特征值概念来自线性代数,可以随便找个b站视频看一下特征值特征向量,学习通资料里的视频有点抽象,适合理解数学,不太适合背计算。

重点: 对称矩阵的谱半径和其2范数相等

5.条件数

只需要知道条件数的定义:

cond(A)=||A||*||A − 1 ^{-1} 1||

(||是上面刚讲的范数)

6.迭代法

6.1 迭代法的一般形式

x ∗ x^* x = M x ∗ x^* x + g

从这个式子看起,我们要知道,迭代法里面所有公式,左面的x和右面的x不是一个x,左面的相当于 x ( k + 1 ) x^{(k+1)} x(k+1),右面的相当于 x ( k ) x^{(k)} x(k)
我们不停的带入 x ( k ) x^{(k)} x(k)求得 x ( k + 1 ) x^{(k+1)} x(k+1),使x越趋向于真实解,所以,我们需要找到一个收敛的迭代格式。

6.2 迭代法的收敛性

这两个定义还是挺重要的,划重点的时候特意说了一下。

定理2.7 迭代格式对任何初始近似值 x ( 0 ) x^{(0)} x(0)均收敛的充要条件是迭代矩阵M得谱半径ρ(M)<1

推论2.1 若||M||<1(可以是任何一种相容范数),则迭代格式收敛。

6.3 雅各比迭代法

6.4 高斯-赛德尔迭代法

这两个一起说了,根据P49页例题讲。

分别用其他变量表示x,y,z(各个不同的变量),根据各个迭代法得分量形式用于计算。

雅各比:左侧为第(k+1)代,右侧为第(k)代。
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第8张图片

高斯:左侧为第(k+1)代,右侧若已经算出,则用刚刚算出的第(k+1)代,否则为第(k)代。
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第9张图片

迭代法的矩阵形式判断迭代法是否收敛:

首先要记住三个变量,虽然与之前矩阵分解的变量同名,但是不同含义,首先,最基础的矩阵(根据题中得到的)定义为A。

D:A的对角线构成的对角矩阵
-L:A的严格下三角部分构成的下三角矩阵
-U:A的严格上三角部分构成的上三角矩阵

什么叫严格:就是主对角线全是0
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第10张图片

然后要记住分别的迭代矩阵:

雅各比:
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第11张图片

高斯:
计算方法(二)线性代数方程组的数值解_第12张图片

求M矩阵的特征值(线代),按模(实数就是绝对值)最大的特征值是谱半径(上文4.3),谱半径<1就收敛(上文6.2)。

这道题还是挺重要的,相当于把之前的知识点都套进来了,而且考试也有只改个数的一样的题。

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