高等数学(上) —— 一元微分学

Ch1.极限

函数 (函数四性态)

单调性

1.$f(x)单增⇦⇨f^{\prime }(x)\ge 0$

2.f每多一个负号，单调性发生变化：f(x)单增，则f(-x)单减，-f(-x)单增

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例题1：武钟祥老师每日一题 24.Day62   单调性

答案：D

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奇偶性

1.奇函数：$f(-x)=-f(x)$
若奇函数在x=0处有定义，则$f_{奇}(0)=0$（奇函数的必要条件）

2.导函数的奇偶性：

3.$f(|x|)与|f(x)|$： $|y|$是关于y的偶函数

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例题1：07年3.   $f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数

答案：C

例题2：19年12.   $|y|$是关于y的偶函数

分析：

答案：$\frac{32}{3}$

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对称性

1.$f(x)$与$f(-x)$关于$y轴对称$
2.$f(x)$与$-f(x)$关于$x轴对称$

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例题1：注意函数的对称性。2023年19.曲面积分就是对称性。

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周期性

$y(x)=y(x+T)$

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例题1：18年18(2)

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数列极限与函数极限

数列极限

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例题1：19年18.   数列极限：定积分的保号性、三角换元(有根式)、夹逼定理

答案：

例题2：08年4.   数列极限、举反例

分析：
f(x)单调 + {x_n}单调 = {f(x_n)}单调
f(x)单调 + f{x_n}单调 = {x_n}单调

对于CD，举个反例：f(x)=arctanx单调有界，{x_n}=n（n=1,2,3,…），则$\{f(x_n)\}=\arctan n$，收敛于$\frac{\pi }{2}$，而$\underset{n\to \infty }{\lim }\{x_n\}=\underset{n\to \infty }{\lim }n=\infty$，{x_n}发散

答案：B

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函数极限

函数极限的保号性

如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A，且A＞0，$那么存在常数$\delta >0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，有$f(x)>0$（同理$A<0$ 时，有 $f(x)<0$）

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例题1：武忠祥老师每日一题 24.Day64   保号性、极值

分析：

答案：D

例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day65   保号性、极值

分析：

答案：B

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等价无穷小

$a^x-1\sim x\ln x$

同阶无穷小 ⇦⇨ 阶数相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=k（k为非零的任意常数）
等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

阶 = (里面被积的阶+1)×外面上限的阶

$$(1+x{)}^{\mu }\sim \mu x$$
例如：$\sqrt{1+x}\sim \frac{x}{2}$

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例题1：07年1.  等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

分析：
C：$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \frac{\sqrt{x}}{2}$

B：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1$

答案：B

例题2：20年1.

分析：阶 = (里面被积的阶+1)×外面上限的阶

A：${\int }_0^x(e^{t^2}-1)\mathrm{d}t\sim$ ${\int }_0^x{t}^2\mathrm{d}t$，阶=2+1=3

B：${\int }_0^x\ln$$(1+\sqrt{t^3})\mathrm{d}t\sim {\int }_0^x\sqrt{t^3}\mathrm{d}t={\int }_0^x{t}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t$，阶=1.5+1=2.5

C：${\int }_0^{sinx}\sin t^2\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{sinx}{t}^{2}dt$，阶=2+1=3

D：${\int }_0^{1-cosx}\sqrt{\mathrm{si}{\mathrm{n}}^3\mathrm{t}}\mathrm{dt}\sim$${\int }_0^{\frac{1}{2}{x}^2}{t}^{\frac{3}{2}}dt$，阶=(1.5+1)×2=5

答案：D

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两个重要极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e \end{gathered}$$

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例题1：11年15.   重要极限

答案：

例题2：06年16.   (1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限 (2)凑重要极限，求极限

分析：
(1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限
(2)凑重要极限，求极限

答案：$e^{-\frac{1}{6}}$

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求极限（求极限的方法）

求极限的方法：
①等价无穷小
②洛必达
③泰勒公式
④两个重要极限
⑤有界量×无穷小=无穷小
⑥夹逼准则
⑦导数定义
⑧定积分定义、二重积分定义

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例题：20年9.   求极限：洛必达、泰勒公式

分析：
先通分:原式=$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{(e^x-1)[ln(1+x)]}]=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}$

方法1：洛必达，一直洛

方法1.5：洛必达法则+提出分子中的分式（提出$\frac{1}{1+x}$）
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x}-e^x}{2x}$
（提出$\frac{1}{1+x}$）$=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+x}\cdot \frac{1-e^x(1+x)}{x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^x-x{e}^x}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x(x+1)-1}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }[e^x(x+1)+e^x]=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x(x+2)=-1$

方法2：泰勒公式
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$   $\therefore e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)]-[x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1$

答案：-1

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证明极限存在：极限存在准则/极限存在定理 (2个)

单调有界准则

单调有界准则：单调有界，必有极限（数列收敛）
①单调增加，有上界 ②单调减少，有下界

喻老三：考研中证明极限存在，至今为止，每次都考 单调有界准则

收敛和有极限是等价的意思。不过一般只有 数列和级数 才说收敛。

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例题1：18年19.  单调有界准则证明数列极限存在

答案：

例题2：06年16.

例题3：08年4.

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夹逼定理

A

若题目中出现了形如 A不等式，留意下是否可以通过变形后夹逼。

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例题1：16年4.   连续的定义、可导的定义、夹逼定理

分析：从题目已知，通过变形得到题目所求的夹逼。看到有不等式，可以留意一下是否 变形后能夹逼。

答案：D

例题2：19年18.

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连续

连续性与间断点

间断点的定义

间断点的分类

1.第一类间断点：左右极限都存在

①可去间断点：左右极限都存在，且相等

②跳跃间断点：左右极限都存在，但不等

2.第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，为∞
①无穷间断点：存在无界点 / 瑕点，y(a)=∞，则a为无穷间断点，例如$\tan \frac{\pi }{2}$

②振荡间断点：振荡不存在，但是有界，并不是无穷。典型例子sin∞：$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$

连续与可导

连续：左极限 = 函数值 =右极限
可导：左导数 = 右导数

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例题1：07年4.

分析：AB是连续，CD是可导

A：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}存在⇨\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0\stackrel{连续}{}f(0)=0$

或者 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }x=0$（有界×无穷小 = 无穷小）

B：两种方法同理可证 2f(0)=0

C：导数定义 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)存在$

D：举反例，|x|在x=0处不可导

答案：D

例题2：16年4.

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连续与极限

若f连续，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)$

Ch2.导数

2.1 导数概念

导数定义

1.变化率的极限存在
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

2.$\Delta x=h$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

3.$\Delta x=x-x_0⇨x=x_0+\Delta x$
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

常用结论：
f(x)在x=0处可导   ⇦⇨   $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$存在   ⇦⇨   左导数=右导数

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例题1：18年1.

分析：ABC左右导数均相等，为0
D的$左导数f^{\prime }(0^{-})=\frac{1}{2}，右导数f^{\prime }(0^{+})=-\frac{1}{2}$。左右导数不等，不可导。

答案：D

例题2：20年2.   导数定义(可导)、同阶/高阶无穷小

分析：

A、B：题干只说f(x)在(-1,1)内有定义，没说连续，故不可导。取可去间断点的分段函数为反例。A、B❌

C： f(x)在x=0处可导 ⇦⇨ $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$存在   ∴f(x)为x的同阶或高阶无穷小
又因为$\sqrt{|x|}$比x低阶   ∴$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$。   C✔

D：当f(x)比x²低阶，$\frac{f(x)}{x^2}$应该为∞，不为0；当f(x)与x²同阶，$\frac{f(x)}{x^2}$应该为$k\ne 0$；举反例，取f(x)=x。D❌

答案：C

例题3：23李林六套卷(六)12.   参数方程 + 导数定义

分析：

答案：4

例题4：23李林六套卷(一) 2.

分析：跳转

答案：D

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导数的几何意义

2.2 函数的求导法则

导数公式

$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

复合函数的链式求导法则

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

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例题1：23李林四(三)11.

分析：

答案：$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\ln 2$

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2.3 高阶导数

求n阶导数的三种方法 (武老师)

1.公式（n阶导数公式）

2.求1阶、2阶，归纳规律

3.泰勒公式

1.直接求导：无脑求三阶导，然后代值
优点：思路简单，暴力无脑
缺点：计算量大，容易出错

2.f=uv，莱布尼茨公式：$f^{(n)}=(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^k$

3.n阶导数公式
$(\frac{1}{1+x}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!}{(1+x{)}^{n+1}}$

4.泰勒公式的唯一性：
设函数f(x)在x=x₀处具有n阶导数，且
$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2((x-x_0{)}^2+a_3(x-x_0{)}^3+...+a_n(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)(x\to x_0)$$
则一定有$a_0=f(x_0)，a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},k=1,2,...$

$\therefore f^{(n)}(x_0)=a_n\cdot n!$

即 $a_3=\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{6}$ $f^{\prime \prime \prime }(0)=6a_3$

5.导函数的奇偶性：
f(x)为可导的奇函数，则其导函数为偶函数；f(x)为可导的偶函数，则其导函数为奇函数

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例题1：17年9.

分析：方法4：导函数的奇偶性
f(x)是偶函数，则f’‘’(x)为奇函数，则f’‘’(0)=0

答案：0

例题2：16年12.

分析：

答案：$\frac{1}{2}$

例题3：武钟祥每日一题 24-Day60  啊，我“拆”开了！

分析：

例题4：武钟祥每日一题 24-Day61

分析：
法一(回代法)：$求f^{\prime \prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)，将f^{\prime }(x)=f^2(x)代入，得f^{\prime \prime }(x)=2f^3(x)$。只有A满足此规律(排除法。下图见填空题【归纳法】)

法二(特殊函数法)：令$f(x)=-\frac{1}{x}$。求导得$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^3},f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{6}{x^4}$，按照规律，应为A

答案：A

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2.4 隐函数及参数方程的导数

隐函数的导数

由参数方程所确定的函数的导数

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例题1：10年9.

分析：

答案：0

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含绝对值的导数

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例题1：05年7.         “动静”结合

分析：“动静”结合：只有趋向于无穷的n是动的，其他变量(如x)都是静的，看作常数
①先求极限，求出f(x)的分段函数表达式。注意aⁿ需要对底数a进行分类讨论
②对分段函数的分段点的可导性进行讨论。用导数定义。

答案：C

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2.5 一元可微

Δy是(函数的)增量，dy是(函数的)微分

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例题：06年7.

分析：
法1：画图法
由上图的一元可微图可知，0

法2：拉格朗日中值定理

答案：A

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Ch3.中值定理

费马引理

罗尔定理

罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间 [a,b] 上连续
(2)在开区间 (a,b) 内可导
(3)在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)
那么在开区间 (a,b) 内至少有一点ξ (a<ξョξ∈(a,b)，使 f’(ξ)=0

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例题1：13年18.   有两问的问题，考虑把第一问的结果用到第二问上

答案：

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拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足：
(1)在闭区间 [a,b] 上连续
(2)在开区间 (a,b) 内可导
那么在开区间 (a,b) 内至少有一点ξ (a<ξョξ∈(a,b)，使得
$$\begin{gathered} f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)(a<\xi <b) \\ 或f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a<\xi <b) \end{gathered}$$

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例题1：16年19.   有两问的问题，考虑把第一问的结果用到第二问上

答案：

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柯西中值定理

洛必达法则

分子分母同时求导。
洛就完了。

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例题：20年9.

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泰勒公式

泰勒中值定理1：

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

佩亚诺余项(用于计算极限)：$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$

泰勒中值定理2：

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$

拉格朗日余项(用于证明)：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}（x_0<\xi <x）$

麦克劳林公式

原式	泰勒展开 (写到3阶)
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
$\tan x$	$x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+o(x^3)$
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2-x^3+o(x^3)$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$\frac{1}{1+x^2}$	$1-x^2+x^4-x^6+o(x^3)$
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

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例题1：13年1.

分析：$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
答案：D

例题2：16年12. 用泰勒公式求高阶导数$f^{\prime \prime \prime }(0)$

分析：考虑泰勒公式展开

答案：$\frac{1}{2}$

例题3：20年9.

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极值与拐点

极值

1.极值的定义：
设函数f(x)在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任一x，恒有$f(x)<f(x_0)$（$f(x)>f(x_0)$），则称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

2.极值的必要条件：
①驻点，即$f^{\prime }(x)=0$
②不可导点，即$f^{\prime }(x)$不存在

3.极值第一充分条件
设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$内可导
(1)若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)>0$，而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得 极大值
(2)若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)<0$，而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得 极小值
(3)若$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f^{\prime }(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处 没有极值

4.极值第二充分条件
设函数f(x)在$x_0$处具有二阶导数且 $f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$，则
(1)当$f^{\prime }(x)=0，f^{\prime \prime }(x_0)<0$时，函数f(x)在$x_0$处取得极大值
(2)当$f^{\prime }(x)=0，f^{\prime \prime }(x_0)>0$时，函数f(x)在$x_0$处取得极小值

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例题1：03年7.

分析：极值点是驻点$(f^{\prime }(x_0)=0)$或者不可导点$(f^{\prime }(x_0)不存在)$

从左到右依次为：驻点a，驻点b，不可导点0，驻点c
显然：
①驻点a为极大值点
②驻点b为极小值点
③不可导点0，由极值的第一充分条件，得x=0为极大值点
④驻点c为极小值点

答案：C

例题2：武24 D67   极值第二充分条件：$f^{\prime \prime }(x)>0，极小值$

分析：

答案：B

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拐点

0.凹凸性
凹：①$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$  ②$f^{\prime \prime }(x)>0$

凸：①$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$  ②$f^{\prime \prime }(x)<0$

1.拐点的定义：连续曲线的凹弧与凸弧的分界点。即经过该点$(x_0,f(x_0))$，曲线的凹凸性改变了，则该点为拐点。(形象点说，拐点就是曲线增长率由加速变到减速，或由减速变到加速的点。二阶导可以理解为加速度，加速度a变号的点，就是拐点)

2.拐点的必要条件：$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 或 $f^{\prime \prime }(x_0)$不存在

3.拐点的充分条件：
(1)$f^{\prime }(x)$ 在$x_0$处改变增减性，即 $x_0$左右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号
(2)$f^{\prime \prime }(x_0)=0，f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$

4.极值点 vs 拐点：

极值点 vs 拐点	区别
极值点的必要条件	一阶导数的零点(驻点)或者瑕点
拐点的必要条件	二阶导数的零点或者瑕点

5.一个点不可能同时为极值点和拐点：若为极值点，则不会是拐点。若为拐点，则不会是极值点。

奇数阶导数不为0：拐点  ；举例： $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0,f^{(5)}(x_0)\ne 0$，则$x_0$为拐点
偶数阶导数不为0：极值点  ；举例： $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=0,f^{(4)}(x_0)\ne 0$，则$x_0$为极值点

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例题1：15年1.

分析：
①拐点的必要条件(可能为拐点的点)：f’‘(x)=0或 f’‘(x)不存在。有三个点x=a，x=0，x=b
②拐点的充分条件：f’‘(x)在该点处左右的负号改变，显然排除x=a，剩余两个x=0，x=b满足f’'(x)负号改变，是拐点

答案：C

例题2：11年1.   拐点：曲线的凹凸性改变，且不是极值点

分析：① 穿针引线法：右上穿入，奇过偶不过
②一个点不可能同时为极值点和拐点：若为极值点，则不会是拐点。若为拐点，则不会是极值点。

显然2和4是极值点，不是拐点。排除BD
1点的凹凸性没有发生改变，排除A

答案：C

例题3：武忠祥老师每日一题 24.Day66.   拐点是一个二维坐标

分析： 求拐点：二阶导=0

化简可得$y^{\prime \prime }=\frac{10}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}(x+1)$
可能为拐点(拐点的必要条件)：f’‘(x)=0或f’‘(x)不存在
f’‘(x)=0：x=-1
f’'(x)不存在：x=0

充分条件2：f’‘(x)在$x_0$两侧变号，可见y’'在-1左右变号，在0左右不变号。则(-1,-6)是拐点

答案：$(-1,-6)$

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渐近线

分析顺序：①铅直渐渐线（找无穷间断点）→ ②水平渐近线(双向)→ ③斜渐近线(双向)

铅直渐近线可以有无数条，而 水平渐近线+斜渐近线 最多只能有2条，为x轴的正向和负向

铅直渐近线

有无穷间断点a，则 x=a 为曲线的铅直渐近线

水平渐近线

水平渐近线有+∞和-∞两个方向

若有$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=c$ 或者 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=c$
则称 $y=c$为曲线$y=f(x)$的水平渐近线

斜渐近线

斜渐近线也有+∞和-∞两个方向。有该方向上的水平渐近线，则无该方向上的斜渐近线。即，水平渐近线 + 斜渐近线 ≤ 2

若有$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ 且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)-ax=b$
或者$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ 且 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)-ax=b$
则称 $y=ax+b$为曲线$y=f(x)$的斜渐近线

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例题1：23年1.

例题2：07年2.

分析：分析顺序：铅直渐渐线→水平渐近线→斜渐近线

答案：D

例题3：14年1.

分析：

函数f(x)	铅直	水平	斜
$A：y=x+sinx$	×	×	× 有a无b
$B：y=x^2+sinx$	×	×	× 无a
$C：y=x+sin\frac{1}{x}$	×	×	√ 有a有b
$D：y=x^2+sin\frac{1}{x}$	×	×	× 无a

$y=sin\frac{1}{x}$图像

由$y=sin\frac{1}{x}$图像可知，$y=sin\frac{1}{x}$在x=0处是有界振荡，不存在无穷间断点，故没有铅直渐近线。

答案：C

例题4：23李林六套卷(六)13.   极坐标方程求斜渐近线

分析：将x、y用极坐标表示出来

答案：$y=\sqrt{3}x+\frac{2}{3}$

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曲率、曲率半径

曲率半径 $\rho =\frac{1}{K}$

曲率 $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$

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例题1:23李林六套卷(五)1.

分析：

答案：C

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Ch4.不定积分

Ch5.定积分

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