数字三角形问题

典型的dp题目

给出一个数字三角形，要找出一条总和最大的路径，输出这个最值。

思路

定义2维状态，表示从起点走到另一点的最大值

推导状态转移方程，根据题意，我们可以选择从左上或右上走下来，状态转移为两者中的最大值。

实现细节

目标状态就是多个终点的最大值。

初始状态是起点，其他为负无穷。

复杂度：状态数量 * （单次状态）计算量。n^2 * 1，实际用到的没这么多。

#include 
using namespace std;

const int N = 510, INF = 1e9;

int n, m;
int a[N][N], f[N][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
        for (int j = 1; j <= i; ++ j)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    // 初始化状态
    for (int i = 0; i <= n; ++ i)
        for (int j = 0; j <= i + 1; ++ j) // 需要多初始化一位，因为计算的原因
            f[i][j] = -INF;
    f[1][1] = a[1][1]; // 初始化起点
    for (int i = 2; i <= n; ++ i) // 从第二层开始枚举即可
        for (int j = 1; j <= i; ++ j)
            // 两边走下来
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + a[i][j];

    int ans = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) // 枚举每个终点
        ans = max(ans, f[n][i]);

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

换一种思路：从下向上走，目标状态就是原起点。

状态表示为从一个点走到上一层的方案的最大值。

状态转移从左下和右下走来上，两者的最大值。

初始状态默认即可。

#include 
using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
        for (int j = 1; j <= i; ++ j)
            scanf("%d", &f[i][j]);
    
    for (int i = n; i >= 1; -- i) 
        for (int j = i; j >= 1; -- j)
            f[i][j] += max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]);

    printf("%d\n", f[1][1]);
    return 0;
}