【论文笔记】仿射队形控制原理与stress matrix的构建

文章目录

  • 写在前面
  • 预备基础
    • 线性相关和仿射相关
    • Stress Matrix
    • Distance Rigidity
  • Affine Formation Control的实现
    • Affine Image和Stress Matrix的关系
    • 什么条件下Stress Matrix可行
    • 如何构建Stress Matrix
    • 奇异值分解的原理和应用
      • 特征值和特征向量
      • 奇异值分解
      • 常见应用

写在前面

原论文标题:Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems.

本文为近期阅读的论文(Zhao 2018)1的笔记。该论文研究基于仿射变换的编队控制,重点集中于如何通过控制leader实现maneuver。

预备基础

column stack(记作vec)的性质:
vec ⁡ ( A B C ) = ( C T ⊗ A ) vec ⁡ ( B ) x ⊗ y = vec ⁡ ( y x T ) \begin{aligned} \operatorname{vec}(ABC)&=(C^T\otimes A)\operatorname{vec}(B)\\ x\otimes y&=\operatorname{vec}(yx^T) \end{aligned} vec(ABC)xy=(CTA)vec(B)=vec(yxT)
configuration matrix定义为:
P ( p ) = [ p 1 T ⋮ p n T ] ,   P ˉ ( p ) = [ P ( p ) 1 n ] , P(p)=\begin{bmatrix} p_1^T\\ \vdots\\ p_n^T \end{bmatrix},\,\bar P(p)=\begin{bmatrix}P(p)&1_n\end{bmatrix}, P(p)=p1TpnTPˉ(p)=[P(p)1n]
其中 p i ∈ R d p_i\in\mathbb R^d piRd的column stack叫做configuration p = [ p 1 T , ⋯   , p n T ] T p=[p_1^T,\cdots,p_n^T]^T p=[p1T,,pnT]T

结合上面两个,得到一个多智能体控制中常用的性质:
vec ⁡ ( ( L P ( p ) ) T ) = ( L ⊗ I d ) vec ⁡ ( P T ( p ) ) 。 ( 1 ) \operatorname{vec}((LP(p))^T) = (L\otimes I_d)\operatorname{vec}(P^T(p))。\qquad (1) vec((LP(p))T)=(LId)vec(PT(p))(1)
该性质在matlab编程中可以简化代码。

线性相关和仿射相关

线性相关(linearly dependant)要求 ∑ i = 1 n a i p i = 0 \sum_{i=1}^na_ip_i=0 i=1naipi=0,而仿射相关(affinely dependant)额外要求 ∑ i = 1 n a i = 0 \sum_{i=1}^n a_i=0 i=1nai=0。这个区别直接反映在configuration matrix上,故 { p i } i = 1 n \{p_i\}_{i=1}^n {pi}i=1n仿射相关当且仅当 P ˉ ( p ) \bar P(p) Pˉ(p)行线性相关,即 P ˉ T ( p ) a = 0 \bar P^T(p)a=0 PˉT(p)a=0

仿射相关肯定线性相关,反之不一定。线性无关肯定仿射无关,反之不一定。

由于 P ˉ ( p ) \bar P(p) Pˉ(p) d + 1 d+1 d+1列,所以 R d \mathbb R^d Rd空间最多有 d + 1 d+1 d+1个点仿射无关(affinely independant)。相对应的, R d \mathbb R^d Rd空间最多有 d d d个点线性无关(linearly dependant)。

{ p i } i = 1 n \{p_i\}_{i=1}^n {pi}i=1n中存在 d + 1 d+1 d+1个点仿射无关时, R d \mathbb R^d Rd可以被 { p i } i = 1 n \{p_i\}_{i=1}^n {pi}i=1n仿射展开(affine span),此时 P ˉ ( p ) \bar P(p) Pˉ(p)行线性无关, rank ⁡ ( P ˉ ( p ) ) = d + 1 \operatorname{rank}(\bar P(p))=d+1 rank(Pˉ(p))=d+1

引理1: { p i } i = 1 n \{p_i\}_{i=1}^n {pi}i=1n仿射展开 R d \mathbb R^d Rd,当且仅当 n ≥ d + 1 n\geq d+1 nd+1 rank ⁡ ( P ˉ ( p ) ) = d + 1 \operatorname{rank}(\bar P(p))=d+1 rank(Pˉ(p))=d+1

Stress Matrix

对基于图论定义的formation ( G , p ) (\mathcal G,p) (G,p)stress是每条边上的标量权重, { ω i j } ( i , j ) ∈ E \{\omega_{ij}\}_{(i,j)\in\mathcal E} {ωij}(i,j)E ,其中 ω i j = ω j i ∈ R \omega_{ij}=\omega_{ji}\in\mathbb R ωij=ωjiR

equilibrium stress满足
∑ j ∈ N i ω i j ( p i − p j ) = 0 ,   i ∈ V 。 ( 2 ) \sum_{j\in\mathcal N_i}\omega_{ij}(p_i-p_j)=0,\,i\in\mathcal V。 \qquad (2) jNiωij(pipj)=0iV(2)
可知,如果 ω \omega ω是equilibrium stress,则 k ω k\omega kω也是( k ≠ 0 k\neq 0 k=0)。

Distance Rigidity

对于一组formation,满足等价和全等的条件为:

  • 等价(equivalent):图相同的情况下,任意一条边对应的两个节点,在不同的formation中距离相等。

  • 全等(congruent):图相同的情况下,任意两个节点,在不同的formation中距离相等。

globally rigid:对于一个formation,等价和全等同时成立。

universally rigid:对于一个formation,在任意 R d 1 \mathbb R^{d_1} Rd1空间满足globally rigid,其中 d 1 ≥ d d_1\geq d d1d

应用式(1),定义对称的equilibrium stress matrix Ω \Omega Ω,我们将平衡条件式(2)重写为
( Ω ⊗ I d ) p = vec ⁡ ( ( Ω P ( p ) ) T ) = 0 。 ( 3 ) (\Omega\otimes I_d)p=\operatorname{vec}((\Omega P(p))^T)=0。\qquad (3) (ΩId)p=vec((ΩP(p))T)=0(3)
由于 rank ⁡ ( P ( p ) ) = d + 1 \operatorname{rank}(P(p))=d+1 rank(P(p))=d+1,故 rank ⁡ ( Ω ) = n − d − 1 \operatorname{rank}(\Omega)=n-d-1 rank(Ω)=nd12

引理2:给定无向图 G \mathcal G Ggeneric configuration p p p,formation ( G , p ) (\mathcal G,p) (G,p)是universally rigid当且仅当存在半正定stress matrix Ω \Omega Ω满足 rank ⁡ ( Ω ) = n − d − 1 \operatorname{rank}(\Omega)=n-d-1 rank(Ω)=nd1

注意:线性代数里正定性的前提是实对称矩阵。

Consider all of the coordinates of p = [ p 1 T , ⋯   , p n T ] T p=[p_1^T,\cdots,p_n^T]^T p=[p1T,,pnT]T as a set of numbers x 1 , x 2 , ⋯   , x d n x_1, x_2,\cdots,x_{dn} x1,x2,,xdn, and consider any non-zero polynomial equation f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x d n ) f(x_1, x_2,\cdots,x_{dn}) f(x1,x2,,xdn) with integer coeffcients and the numbers (the coordinates) substituted for the variables x 1 , x 2 , ⋯   , x d n x_1, x_2,\cdots,x_{dn} x1,x2,,xdn. If f ( p ) ≠ 0 f(p) \neq 0 f(p)=0 for every such f f f, we say that the configuration is generic.3

论文(Zhao 2018)中对generic的定义是:the coordinates of all the nodes do not satisfy any nontrivial equations with rational coefficients. 由于有理数可以通过乘以最小公倍数得到整数,该定义与上述定义一致。

Affine Formation Control的实现

给定nominal configuration r = [ r 1 T , ⋯   , r n T ] T r=[r_1^T,\cdots,r_n^T]^T r=[r1T,,rnT]T和nominal formation ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r),target formation中的configuration为
p ∗ ( t ) = [ I n ⊗ A ( t ) ] r + 1 n ⊗ b ( t ) , A ( t ) ∈ R d × d , b ( t ) ∈ R d , p^*(t)=[I_n\otimes A(t)]r+1_n\otimes b(t),A(t)\in\mathbb R^{d\times d},b(t)\in\mathbb R^d, p(t)=[InA(t)]r+1nb(t)A(t)Rd×db(t)Rd
p ∗ ( t ) ∈ A ( r ) p^*(t)\in\mathcal A(r) p(t)A(r),其中 A ( r ) \mathcal A(r) A(r) r r r的affine image。

引理3: A ( r ) \mathcal A(r) A(r)的维度为 d 2 + d d^2+d d2+d当且仅当 { r i } i = 1 n \{r_i\}_{i=1}^n {ri}i=1n仿射展开 R d \mathbb R^d Rd

假设1: { r i } i = 1 n \{r_i\}_{i=1}^n {ri}i=1n仿射展开 R d \mathbb R^d Rd。我们不讨论控制算法的设计和稳定性证明,主要研究下面几个问题。

Affine Image和Stress Matrix的关系

引理4:对任意nominal configuration r r r,以下条件始终成立:
A ( r ) ⊆ Null ⁡ ( Ω ⊗ I d ) , Col ⁡ ( P ˉ ( r ) ) ⊆ Null ⁡ ( Ω ) 。 \begin{aligned} \mathcal A(r)&\subseteq \operatorname{Null}(\Omega\otimes I_d),\\ \operatorname{Col}(\bar P(r))&\subseteq\operatorname{Null}(\Omega)。 \end{aligned} A(r)Col(Pˉ(r))Null(ΩId)Null(Ω)

因为 { r i } i = 1 n \{r_i\}_{i=1}^n {ri}i=1n满足(2),所以 { A r i + b } i = 1 n \{Ar_i+b\}_{i=1}^n {Ari+b}i=1n满足(2),第一个条件成立。由式(3)知,第二个条件成立。

假设2:nominal formation ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r)存在满足引理2的 Ω \Omega Ω

引理5:满足假设2的条件下,下列条件等价。

  1. { r i } i = 1 n \{r_i\}_{i=1}^n {ri}i=1n仿射展开 R d \mathbb R^d Rd
  2. Null ⁡ ( Ω ⊗ I d ) = A ( r ) \operatorname{Null}(\Omega\otimes I_d)=\mathcal A(r) Null(ΩId)=A(r)
  3. Null ⁡ ( Ω ) = Col ⁡ ( P ˉ ( r ) ) \operatorname{Null}(\Omega)=\operatorname{Col}(\bar P(r)) Null(Ω)=Col(Pˉ(r))

在引理4的基础上,证明引理5只需要证明维度相等。由假设2和引理2,知 dim ⁡ ( Null ⁡ ( Ω × I d ) ) = d ( d + 1 ) \operatorname{dim}(\operatorname{Null}(\Omega\times I_d))=d(d+1) dim(Null(Ω×Id))=d(d+1),再由引理3,知两者维度相等。同理可证第3条。

什么条件下Stress Matrix可行

定理1:满足假设1的条件下,nominal formation ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r)仿射可定位(affinely localizable)当且仅当leader节点,即 { r i } i ∈ V l \{r_i\}_{i\in\mathcal V_l} {ri}iVl,仿射展开 R d \mathbb R^d Rd

仿射可定位:已知 ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r),给定leader节点 p l p_l pl可以唯一确定target configuration p = [ p l T , p f T ] T p=[p_l^T,p_f^T]^T p=[plT,pfT]T。也就是说, A A A b b b被唯一确定。

推论1:如果 { r i } i ∈ V l \{r_i\}_{i\in\mathcal V_l} {ri}iVl仿射展开 R d \mathbb R^d Rd,那么对任意 p ∈ A ( r ) p\in\mathcal A(r) pA(r),相对应的 A A A b b b被唯一确定为
A = ( ∑ i ∈ V l p i r ~ i T ) ( ∑ i ∈ V l r ~ i r ~ i T ) − 1 , b = 1 n l ∑ i ∈ V l p i − A r ˉ , \begin{aligned} A&=\left(\sum_{i\in\mathcal V_l}p_i\tilde r_i^T\right)\left(\sum_{i\in\mathcal V_l}\tilde r_i\tilde r_i^T\right)^{-1},\\ b&=\frac{1}{n_l}\sum_{i\in\mathcal V_l}p_i-A\bar r, \end{aligned} Ab=(iVlpir~iT)(iVlr~ir~iT)1=nl1iVlpiArˉ
其中 r ˉ = ∑ i ∈ V l r i / n l \bar r=\sum_{i\in\mathcal V_l}r_i/n_l rˉ=iVlri/nl r ~ i = r i − r ˉ \tilde r_i=r_i-\bar r r~i=rirˉ

由推论1可知, { r i } i ∈ V l \{r_i\}_{i\in\mathcal V_l} {ri}iVl仿射展开 R d \mathbb R^d Rd当且仅当 ∑ i ∈ V l r ~ i r ~ i T \sum_{i\in\mathcal V_l}\tilde r_i\tilde r_i^T iVlr~ir~iT非奇异。

下面研究什么样的 Ω \Omega Ω满足仿射可定位。定义 Ω ˉ = Ω ⊗ I d = [ Ω ˉ l l Ω ˉ l f Ω ˉ f l Ω ˉ f f ] \bar \Omega=\Omega\otimes I_d=\begin{bmatrix}\bar \Omega_{ll}&\bar \Omega_{lf}\\\bar \Omega_{fl}&\bar \Omega_{ff}\end{bmatrix} Ωˉ=ΩId=[ΩˉllΩˉflΩˉlfΩˉff]

定理2:满足假设1、2的情况下,nominal formation ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r)仿射可定位当且仅当 Ω ˉ f f \bar \Omega_{ff} Ωˉff非奇异。此时, p f p_f pf被唯一确定,即 p f = − Ω ˉ f f − 1 Ω ˉ f l p l p_f=-\bar \Omega_{ff}^{-1}\bar \Omega_{fl}p_l pf=Ωˉff1Ωˉflpl

假设3:nominal formation ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r)仿射可定位。

假设1、2保证 Ω \Omega Ω的零空间正好是affine image。假设3保证 Ω ˉ f f \bar \Omega_{ff} Ωˉff是正定的(因为 Ω ˉ \bar \Omega Ωˉ半正定,且 Ω ˉ f f \bar \Omega_{ff} Ωˉff非奇异)。

参考schur complement condition4,对于 X = [ A , B ; B T , C ] X=[A,B;B^T,C] X=[A,B;BT,C],有:

  1. X > 0 X>0 X>0 ⇔ A > 0 , C − B T A − 1 B > 0 \Leftrightarrow A>0, C-B^T A^{-1}B>0 A>0,CBTA1B>0
  2. X > 0 X>0 X>0 ⇔ C > 0 , A − B C − 1 B T > 0 \Leftrightarrow C>0, A-B C^{-1} B^T>0 C>0,ABC1BT>0
  3. 如果 A > 0 A>0 A>0,那么 X ≥ 0 X\geq 0 X0 ⇔ \Leftrightarrow C − B T A − 1 B ≥ 0 C-B^TA^{-1}B\geq 0 CBTA1B0
  4. 如果 C > 0 C>0 C>0,那么 X ≥ 0 X\geq 0 X0 ⇔ \Leftrightarrow A − B C − 1 B T ≥ 0 A-BC^{-1}B^T\geq 0 ABC1BT0

如何构建Stress Matrix

H ∈ R ∣ E ∣ × n H\in\mathbb R^{|\mathcal E|\times n} HRE×n为incidence matrix。已知formation ( G , r ) (\mathcal G,r) (G,r)如何求取 Ω \Omega Ω满足平衡条件?

首先,由 Ω = H T diag ⁡ ( ω ) H \Omega=H^T\operatorname{diag}(\omega)H Ω=HTdiag(ω)H Ω P ˉ ( r ) = 0 \Omega\bar P(r)=0 ΩPˉ(r)=0,知 P ˉ T ( r ) H T diag ⁡ ( ω ) H = P ˉ T ( r ) H T diag ⁡ ( ω ) [ h 1 , ⋯   , h n ] = 0 \bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(\omega)H=\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(\omega)[h_1,\cdots,h_n]=0 PˉT(r)HTdiag(ω)H=PˉT(r)HTdiag(ω)[h1,,hn]=0

diag ⁡ ( ω ) h i = diag ⁡ ( h i ) ω \operatorname{diag}(\omega)h_i=\operatorname{diag}(h_i)\omega diag(ω)hi=diag(hi)ω,两者位置互换,得到 P ˉ T ( r ) H T diag ⁡ ( h i ) w = 0 \bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(h_i)w=0 PˉT(r)HTdiag(hi)w=0

定义 E = [ P ˉ T ( r ) H T diag ⁡ ( h 1 ) ⋮ P ˉ T ( r ) H T diag ⁡ ( h n ) ] E=\begin{bmatrix}\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(h_1)\\ \vdots\\\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(h_n)\end{bmatrix} E=PˉT(r)HTdiag(h1)PˉT(r)HTdiag(hn)。则 E ω = 0 E\omega=0 Eω=0,因此 ω \omega ω E E E的零空间里。

定义 z 1 , ⋯   , z q ∈ R ∣ E ∣ z_1,\cdots,z_q\in\mathbb R^{|\mathcal E|} z1,,zqRE E E E的零空间上的一组基。则 ω = ∑ i = 1 q c i z i \omega=\sum_{i=1}^qc_iz_i ω=i=1qcizi,其中 c 1 , ⋯   , c n ∈ R c_1,\cdots,c_n\in\mathbb R c1,,cnR是一组待定系数。

对于宽(fat)矩阵 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} ARm×n,其零空间可以写为 I n − A † A I_n-A^\dagger A InAA,然而 E ∈ R n ( d + 1 ) × ∣ E ∣ E\in\mathbb R^{n(d+1)\times |\mathcal E|} ERn(d+1)×E也可能是长(slim)矩阵。

对于长矩阵 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} ARm×n,可以通过奇异值分解求 A A A的零空间。

然后,我们继续确定系数 c 1 , ⋯   , c n ∈ R c_1,\cdots,c_n\in\mathbb R c1,,cnR。令 P ˉ ( r ) = U Σ V T \bar P(r)=U\Sigma V^T Pˉ(r)=UΣVT。令 U = [ U 1 , U 2 ] U=[U_1,U_2] U=[U1,U2],其中 U 1 U_1 U1包含 U U U的前 d + 1 d+1 d+1列。因为 P ˉ ( r ) \bar P(r) Pˉ(r)的秩为 d + 1 d+1 d+1,所以 U 1 U_1 U1是非零奇异值对应的左奇异向量,即 P ˉ ( r ) \bar P(r) Pˉ(r)的列空间。同理 U 2 U_2 U2 P ˉ T ( r ) \bar P^T(r) PˉT(r)的零空间。

根据假设2和引理2,我们要求 Ω \Omega Ω是半正定,且秩为 n − d − 1 n-d-1 nd1

因为 Ω P ˉ ( r ) = 0 \Omega \bar P(r)=0 ΩPˉ(r)=0,故 Ω U 1 = 0 \Omega U_1=0 ΩU1=0,所以 Ω \Omega Ω在前 d + 1 d+1 d+1维秩为0,于是剩下的 n − d − 1 n-d-1 nd1维需要满秩,即 Ω \Omega Ω P ˉ T ( r ) \bar P^T(r) PˉT(r)的零空间上正定,对任意 x ∈ Null ⁡ ( P ˉ T ( r ) ) x\in\operatorname{Null}(\bar P^T(r)) xNull(PˉT(r)),有 x T Ω x > 0 x^T\Omega x>0 xTΩx>0。换句话说,对任意 y ∈ R n y\in\mathbb R^n yRn y T ( U 2 T Ω U 2 ) y > 0 y^T(U_2^T\Omega U_2)y>0 yT(U2TΩU2)y>0

命题: rank ⁡ ( Ω ) = n − d − 1 \operatorname{rank}(\Omega)=n-d-1 rank(Ω)=nd1当且仅当 U 2 T Ω U 2 = U 2 T H T diag ⁡ ( ω ) H U 2 > 0 U_2^T\Omega U_2=U_2^TH^T\operatorname{diag}(\omega)H U_2>0 U2TΩU2=U2THTdiag(ω)HU2>0

ω = ∑ i = 1 q c i z i \omega=\sum_{i=1}^qc_iz_i ω=i=1qcizi代入 U 2 T H T diag ⁡ ( ω ) H U 2 U_2^TH^T\operatorname{diag}(\omega)H U_2 U2THTdiag(ω)HU2,得到 ∑ i = 1 n c i U 2 T H T diag ⁡ ( z i ) H U 2 > 0 \sum_{i=1}^nc_iU_2^TH^T\operatorname{diag}(z_i)H U_2>0 i=1nciU2THTdiag(zi)HU2>0

定义 M i = U 2 T H T diag ⁡ ( z i ) H U 2 M_i=U_2^TH^T\operatorname{diag}(z_i)HU_2 Mi=U2THTdiag(zi)HU2。可知系数 c 1 , ⋯   , c n ∈ R c_1,\cdots,c_n\in\mathbb R c1,,cnR需要满足条件 ∑ i = 1 n c i M i > 0 \sum_{i=1}^nc_iM_i>0 i=1nciMi>0

奇异值分解的原理和应用

我们回顾一下奇异值分解(singular value decomposition)。

特征值和特征向量

如果 A ∈ R n × n A\in \mathbb R^{n\times n} ARn×n是实矩阵,其特征值和特征向量定义为 A q = λ q Aq=\lambda q Aq=λq,那么 A = Q D Q T A=QD Q^T A=QDQT是它的特征分解(谱分解),其中 Q = [ q 1 , ⋯   , q n ] Q=[q_1,\cdots,q_n] Q=[q1,,qn]是它的特征向量, D = diag ⁡ { λ i } i = 1 n D=\operatorname{diag}\{\lambda_i\}_{i=1}^n D=diag{λi}i=1n是它的特征根。

一般我们会将特征向量转化为标准正交基,使得 Q Q Q是标准正交矩阵。

# Eigenvalues and eigenvectors in MATLAB
# such that e are eigenvalues and D = diag(e)
e = eig(A)
# such that A*V=V*D (right) and W'*A=D*W' (left)
[V,D,W] = eig(A)

奇异值分解

如果 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} ARm×n不是方阵,可以进行奇异值分解,即 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT,其中 U ∈ R m × m U\in\mathbb R^{m\times m} URm×m V ∈ R n × n V\in \mathbb R^{n\times n} VRn×n是正交矩阵, Σ ∈ R m × n \Sigma\in\mathbb R^{m\times n} ΣRm×n是(矩形)对角阵。

U U U V V V分别是对 A A A正交输出和输入的基向量,也是 A A T AA^T AAT A T A A^TA ATA的特征向量,即
( A A T ) U = U D u , ( A T A ) V = V D v 。 (AA^T)U=UD_u,\\ (A^TA)V=VD_v。 (AAT)U=UDu(ATA)V=VDv
证明: A = U Σ V T ⇒ A T = V Σ T U T ⇒ A T A = V Σ T U T U Σ V T = V ( Σ T Σ ) V T A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V\Sigma^T U^T\Rightarrow A^TA=V\Sigma^TU^TU\Sigma V^T=V(\Sigma^T\Sigma) V^T A=UΣVTAT=VΣTUTATA=VΣTUTUΣVT=V(ΣTΣ)VT

# Singular value decomposition
# such that s are non-zero sigular values
s = svd(A)
# such that A = U*S*V'
[U,S,V] = svd(A)

常见应用

  • 求伪逆

如果 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT,那么 A † = V Σ † U T A^\dagger=V\Sigma^\dagger U^T A=VΣUT,其中 Σ † \Sigma^\dagger Σ是将 Σ \Sigma Σ非零主对角元求倒数,再转置得到。

  • 列空间、零空间和秩

对角矩阵 Σ \Sigma Σ的非零对角元素的个数对应于矩阵 A A A的秩。

与零奇异值对应的右奇异向量生成矩阵 A A A的零空间,与非零奇异值对应的左奇异向量则生成矩阵 A A A的列空间。


  1. Zhao, S. (2018). Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(12), 4140–4155. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2798805 ↩︎

  2. Wikipedia contributors. (2020, September 5). Rank–nullity theorem. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:55, September 24, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank%E2%80%93nullity_theorem&oldid=976828687 ↩︎

  3. Connelly, R., & Guest, S. D. (2015). Frameworks, Tensegrities and Symmetry: Understanding Stable Structures. Section 7.2. ↩︎

  4. Wikipedia contributors. (2020, August 12). Schur complement. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:06, September 25, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schur_complement&oldid=972571695 ↩︎

你可能感兴趣的:(控制理论,线性代数,图论)