矩阵乘法的优化

    本文转载在矩阵乘法的优化，其文概要思想便是利用缓存命中率和程序的局部性原理来优化两个矩阵之间的乘法。原文内容如下。代码部分的正确性没有亲自验证。

    矩阵乘法的定义是十分简单的，如果按照数学上的定义，可以写出下面的程序：

    从计算机专业的角度来看，上面的代码是幼稚的。主要表现在：B[k][j]读取内存中的数据，是不连续的。在最底层的循环中，随着k不断加1，B[k][j]不断的在内存中跳跃。这会引起缓存命中率低，循环程序不断的把内存转移至缓存，引起效率降低。

 

    在我的台式机上，两个1000阶矩阵相乘，需要用时8.5s（用的编译器是g++ -O3）。

    充分利用计算机系统的特性可以大幅度提高程序性能，在卡内基梅隆大学的镇校神课《深入理解计算机系统》里面，给出一种方法，仅仅改变循环的次序，就可以大幅度提高性能，代码如下：

    首先，最内层的循环，随着j加1，C[I][J]和B[k][j]都是每次只加1，这符合空间局部性的原理，也就是说，内存每次读取都是一个接着一个的来，没有大幅度跳跃。其次，A[i][k]在中间层循环是跳跃的，但是中间层执行的没有底层那么多，而且我们把A[i][k]赋给了局部变量r，在编译器生成汇编代码的过程中，局部变量r应该由CPU寄存器存储，最底层循环程序读取寄存器的时间几乎可以忽略不计的。

    在我的台式机上，同样的两个1000阶矩阵相乘，只需要用时1.57s，是不是很惊人，代码行数几乎完全一样，只改变循环的次序，就有这么大性能差异。

 

    为了进一步提高性能，可以将矩阵分块，每次计算一部分内容。这样计算时，CPU可以把更规整的把部分内存搬到缓存中，提高缓存命中率。下面是我增加分块后的代码：

    在我的台式机上，同样的两个1000阶矩阵相乘，只需要用时0.73s，相比于最开始的幼稚程序，性能已经提高1个数量级了，但代码行数并没有增加太多。可以得出结论：对于计算机体系结构有所了解的程序员写的程序，与菜鸟程序员相比，性能可能有相当大的差距，虽然工作量可能差不多。

   对于矩阵计算，有成熟的库可以使用，完全没必要从头自己写代码。对于高性能的 BLAS实现（线性代数基础计算）来说，其用到的技术远远比本文复杂，需要在分块计算中减少时间复杂度（Strassen算法），需要自动或手动编写大量的汇编程序。在我的台式机上，OpenBLAS执行两个1000阶矩阵相乘，可能只需要用时0.1s。

    但不管怎么说，为了写高性能程序，学习计算机系统的知识绝对有益。