泛函分析笔记(六) 向量空间
文章目录
- 1. 向量空间
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- 1.1. Hamel 基
- 2. 赋范向量空间
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- 2.1. 商空间
- 2.2. 商范数
- 1. 向量空间
- 1.1. Hamel 基
- 2. 赋范向量空间
- 2.1. 商空间
- 2.2. 商范数
1. 向量空间
这回要重学小学的四则运算了
加法和数乘：
( x , y ) ∈ X × X → ( x + y ) ∈ X , ( α , x ) ∈ K × X → α x ∈ X (x,y)\in X \times X \to (x+y) \in X , ~~ (\alpha,x)\in \mathbb{K} \times X \to \alpha x \in X (x,y)∈X×X→(x+y)∈X, (α,x)∈K×X→αx∈X
这两个就是加法和乘法。
其中 K \mathbb{K} K 是数域 R o r C \mathbb{R} ~ or ~ \mathbb{C} R or C
然后要有一个0元素，和任何元素相加还等于那个元素。
每个元素都还得有一个负元素，保证和它相加为0
（这就形成了一个阿贝尔群，名字很高端。）
然后再有个元素1去搞定乘法部分，就是向量空间了。
不过和我们过去四则运算不同的是，这里的x,y并不一定是个数，而可以是别的什么奇怪的东西。不过 α \alpha α 还是个数的，所以那里强调叫数乘。
子空间： 子空间可以是X的一个子集，也可以是X的子集A张成的子空间，就是A中所有向量的线性组合（啊我想起了高等数值分析的支配。）
A的向量张成的子空间记作
S p a n A Span ~~ A Span A
1.1. Hamel 基
X是向量空间，X的Hamel 基是指任何一个由向量 e i ∈ X e_i\in X ei∈X 组成的向量族 ( e i ) i ∈ I (e_i)_{i\in I} (ei)i∈I 满足：
- 向量族的元线性无关。
- 对任意给定的向量 x ∈ X x\in X x∈X ，存在族 ( e i ) i ∈ I (e_i)_{i\in I} (ei)i∈I 的有限子族 ( e j ) j ∈ J ( x ) (e_j)_{j\in J(x)} (ej)j∈J(x) 和数 x j ∈ K , j ∈ J ( x ) x_j \in \mathbb{K}, j\in J(x) xj∈K,j∈J(x) 使得 x = ∑ j ∈ J ( x ) x j e j x = \sum_{j\in J(x)}x_je_j x=∑j∈J(x)xjej
啊这，和我们线性代数学过的正交基好像啊。第一条简直一模一样，第二条就是所有的向量都可以用这组基的线性组合表示。
在任何向量空间中，Hamel基均是存在的，可以由选择引理导出，不过这个推导过程对我而言就不重要了。
基数: 如果向量空间X存在有限的或无限的Hamel基，则X为有限维或相同的无限维空间，其维数就是任意一个Hamel 基的基数，记为 d i m X dim X dimX
所以向量空间有几维，就有多少种Hamel基？
2. 赋范向量空间
顾名思义就是在向量空间的基础上添加了范数。
设 X 是 K \mathbb{K} K 上的向量空间，其中 K = R \mathbb{K=R} K=R 或 K = C \mathbb{K=C} K=C ，设映射 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ : X → R ||\cdot||: X\to R ∣∣⋅∣∣:X→R 满足
- ∀ x ∈ X , ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ 0 , 当 且 仅 当 x = 0 时 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 \forall x \in X,||x||\ge 0,当且仅当 x =0 时 ||x|| = 0 ∀x∈X,∣∣x∣∣≥0,当且仅当x=0时∣∣x∣∣=0
- ∀ α ∈ K , x ∈ X , ∣ ∣ α x ∣ ∣ = ∣ α ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ \forall \alpha \in \mathbb K,~ x\in X,~ ||\alpha x|| = |\alpha|~||x|| ∀α∈K, x∈X, ∣∣αx∣∣=∣α∣ ∣∣x∣∣
- ∀ x , y ∈ X , ∣ ∣ x + y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ \forall x,y\in X, ||x+y|| \le ||x|| + ||y|| ∀x,y∈X,∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣
则称其为X上的范数。偶对 ( X , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ) (X,||\cdot||) (X,∣∣⋅∣∣) 则是赋范向量空间。其中X是向量空间， ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||\cdot|| ∣∣⋅∣∣ 是范数
可知
∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ − ∣ ∣ y ∣ ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x − y ∣ ∣ |~||x||-||y||~|\le ||x-y|| ∣ ∣∣x∣∣−∣∣y∣∣ ∣≤∣∣x−y∣∣
∣ ∣ ∑ i = 1 n x i ∣ ∣ ≤ ∑ i = 1 n ∣ ∣ x i ∣ ∣ ||\mathop{\sum}\limits_{i=1}^n x_i||\le \mathop{\sum}\limits_{i=1}^n||x_i|| ∣∣i=1∑nxi∣∣≤i=1∑n∣∣xi∣∣
赋范向量空间的距离： 设 ( n , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ) (n,||\cdot||) (n,∣∣⋅∣∣) 为赋范向量空间，映射 d : X × X → R d:X \times X \to \mathbb{R} d:X×X→R 定义为对任何 x , y ∈ X , d ( x , y ) = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ x,y\in X,~d(x,y) = ||x-y|| x,y∈X, d(x,y)=∣∣x−y∣∣ 则d是X的距离
和以前观念里的距离概念差不多
常见范数定义
X 是 K \mathbb{K} K 上的有限维向量空间，其中 K = R \mathbb{K=R} K=R 或 K = C \mathbb{K=C} K=C
-
对每个扩充实数 1 ≤ p ≤ ∞ 1\le p\le\infty 1≤p≤∞ 定义映射 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p ||\cdot||_p ∣∣⋅∣∣p 为
x = ∑ i = 1 n x i e i ∈ X → ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p , 1 ≤ p < ∞ , ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ , p = ∞ x = \mathop{\sum}\limits_{i=1}^n x_ie_i \in X \to ||x||_p = (\mathop{\sum}\limits_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}}, 1 \le p < \infty, ||x||_{\infty} = \mathop{max}_{1\le i \le n} |x_i|,p=\infty x=i=1∑nxiei∈X→∣∣x∣∣p=(i=1∑n∣xi∣p)p1,1≤p<∞,∣∣x∣∣∞=max1≤i≤n∣xi∣,p=∞ ，其中p=2时简记为 ∣ ⋅ ∣ : = ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 |\cdot|:=||\cdot||_2 ∣⋅∣:=∣∣⋅∣∣2 -
对这些范数，空间 ( X , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p ) (X,||\cdot||_p) (X,∣∣⋅∣∣p) 是可分的
回顾以下啥叫可分，应该是说这个拓扑空间有一个可数的稠密子集。
有限维赋范向量空间就是可分的
2.1. 商空间
X 还是 K \mathbb{K} K 上的有限维向量空间，其中 K = R \mathbb{K=R} K=R 或 K = C \mathbb{K=C} K=C ，Z 是X的子空间，则有
x ∼ y 当 且 仅 当 ( x − y ) ∈ Z x\sim y 当且仅当 (x-y)\in Z x∼y当且仅当(x−y)∈Z
是一个X上的等价关系
用 [ x ] = { y ∈ X ; ( x − y ) ∈ Z } = { ( x − z ) ∈ X ; z ∈ Z } ⊂ P ( X ) [x] = \{y\in X;(x-y)\in Z\} = \{(x-z)\in X;z \in Z\} \subset \mathcal{P} (X) [x]={y∈X;(x−y)∈Z}={(x−z)∈X;z∈Z}⊂P(X) 记x模这个关系的等价类。
最开始的基本定义里面提到过商集 X / R X/\mathcal{R} X/R，是由 x x x 的元素模 R \mathcal{R} R 的等价类全体组成的 P ( X ) \mathcal{P}(X) P(X) 的子集。其中那个/读模
在这里，这个商集就应该是这些等价类组成的集合 X / Z X/Z X/Z
在这个商集上定义加法和数乘， [ x ] + [ y ] = [ x + y ] , α [ x ] = [ α x ] [x]+[y] = [x+y], \alpha [x] = [\alpha x] [x]+[y]=[x+y],α[x]=[αx]
那么就变成了 K \mathbb{ K} K 上的一个向量空间，就是商空间了。其中的零向量为 [ 0 ] = Z [0] = Z [0]=Z
常常简记为 [ X ] : = X / Z [X]:= X/Z [X]:=X/Z
网上说在线性代数中，一个向量空间V被一个子空间N的商是将N“坍塌”为零得到的向量空间，所得的空间称为商空间（quotient space）
这里的子空间N就是Z，它被坍塌为0了所以变成了商空间的零向量。
这个例子说的还蛮直观的，商空间就是把那个子空间压缩成了一个点，作为加法的零元，而为啥叫商空间呢，因为把本来的对称结构均分和我们的除法非常相似。
书上也有一些示例，俺是这么理解的
e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1,e2,e3 是我们常见的三维空间的基，那么商空间 R 3 / S p a n e 1 \mathbb{R}^3 / Span ~~e_1 R3/Span e1 (这个span是由向量张成的空间的意思)就是平行于直线 S p a n e 1 Span ~~ e_1 Span e1 的所有直线组成的向量空间。怎么个压缩法嘞？原来咱们是三维向量，朝哪都行，现在的话就只能和 e 1 e_1 e1 平行了，就是压缩了。所有的 e 1 e_1 e1 都是加法0元，因为你在这个商空间下的所有向量本来就都是和 e 1 e_1 e1 平行的，加上 e 1 e_1 e1 也不会改变它的位置，只有沿着 e 2 , e 3 e_2,e_3 e2,e3 方向移动才有改变。
所有三维空间被压掉了一维，还有二维
同样如果我们的商空间是 R 3 / S p a n ( e 1 , e 2 ) \mathbb{R}^3 / Span ~~(e_1,e_2) R3/Span (e1,e2) ，那我们就压掉了两维，还剩下一维。
这个空间中的所有元素应该是平行于 S p a n ( e 1 , e 2 ) Span~~(e_1,e_2) Span (e1,e2) 的平面，那么这些平面的区别就只剩下 e 3 e3 e3 不同了，所以 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2 都是加了没有什么用的东西，就成为了0元。
如果我没想错的话，想通这一块那个感觉可谓是醍醐灌顶茅塞顿开啊呐
2.2. 商范数
定义映射 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ : X / Z → R 为 ∣ ∣ [ x ] ∣ ∣ = i n f y ∈ [ x ] ∣ ∣ y ∣ ∣ X = i n f z ∈ Z ∣ ∣ x − z ∣ ∣ X ||\cdot || :X/Z \to \mathbb{R} 为 ||[x]|| = \mathop{inf}\limits_{y\in [x]} ||y||_X = \mathop{inf}\limits_{z\in Z} ||x-z||_X ∣∣⋅∣∣:X/Z→R为∣∣[x]∣∣=y∈[x]inf∣∣y∣∣X=z∈Zinf∣∣x−z∣∣X
则其为商空间 X/Z 上的范数，称为商范数。
这里的inf还是下界。所以这个范数就是 [x] (或者说Z) 里面的范数的下界。