泛函分析笔记(八)Banach 空间中的lp空间和Lebesgue空间 (勒贝格空间)

1. Banach 空间的基本性质

赋范向量空间 $(X,||\cdot ||)$ 称为 Banach 空间，是指距离空间 $(X,d)$ 是完备的，这里X是的距离d定义为 $d(x,y):=||x-y||$

总而言之Banach空间是一个完备的赋范向量空间，就是性质很好。

2. Banach 空间的例子

2.1. 空间 $l^p,1\le p\le \infty$

这个空间 $l^p$ 嘛，就是p次方可和的实数序列空间

• 映射 $||\cdot |{|}_p$ 是 ${\mathbb{K}}^n$ 上的范数， $||x|{|}_p=({\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$ ,当 $p=\infty$ 时 $||x|{|}_{\infty }=ma{x}_{1\le i\le n}|x_i|$
• 对每个扩充实数 $1\le p\le \infty$ 用 $l^p$ 表示由 $x_i\in \mathbb{K}$ 的满足:
  • 无穷序列 $x=(x_i{)}_{i=1}^{\infty }$ 组成的集合
  • 当 $1\le p<\infty$ 时 ${\sum }_{i=1}^{\infty }|x_i{|}^p<\infty$ ,
  • 当 $p=\infty$ 时， $\underset{i\ge 1}{\sup }|x_i|<\infty$

有以下性质

• 对每个 $1\le l\le \infty ,l^p\to ||x|{|}_p=({\sum }_{i=1}^{\infty }|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$
• 当 $p=\infty$ 时， $x=(x_i{)}_{i=1}^{\infty }\in l^{\infty }\to ||x|{|}_{\infty }=\underset{i\ge 1}{\sup }|x_i|$ ，则 $||\cdot |{|}_p$ 是 $l^p$ 上的范数
• 赋范向量空间 $(l^p,||\cdot |{|}_p),1\le p<\infty$ ，是可分的
• 赋范向量空间 $(l^{\infty },||\cdot |{|}_{\infty })$ ，是不可分的
  (再想一下可分，是说这个拓扑空间有一个可数的稠密子集，就分得开)

空间 $(l^p,||\cdot |{|}_p),1\le p\le \infty$ 就是Banach空间

2.2. Lebesgue 空间 $L^p(\Omega ),1\le p\le \infty$

网上有位大佬说空间 $L^p(\Omega )$ 就是p次方可积的函数序列空间
把上面的 $l^p$ 里的实数换成函数，可和换成可积。

书上比较正式的定义是：

• 用 $\Omega$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意一个开子集，相应的空间 $L^1(\Omega )$ 由所有的实Lebesgue可积函数(的等价类)组成，即其元素是可测函数 $f:\Omega \to [-\infty ,\infty ],{\int }_{\Omega }|f(x)|dx<\infty$
• 将这个定义扩充，给定任何 $1<p<\infty$ ，用 $L^p(\Omega )$ 表示所有的可测函数(的等价类) $f:\Omega \to [-\infty ,\infty ]$ 使得 $|f{|}^p\in L^1(\Omega )$ ，或等价满足 ${\int }_{\Omega }|f(x){|}^{p}dx<\infty$ 组成的集合

和前面那句话差不多，函数的p次方可积。

Lebesgue可积(勒贝格可积): 可测函数 $f:A\to [-\infty ,\infty ]$ 满足 ${\int }_{A}max\{f(x);0\}dx<\infty 且{\int }_{A}max\{-f(x);0\}dx<\infty$
Lebesgue积分: 若f可积，其Lebesgue积分为 ${\int }_{A}f(x)dx:={\int }_{A}max\{f(x);0\}dx-{\int }_{A}max\{-f(x);0\}dx$

Lebesgue 空间 $L^p(\Omega ),1\le p\le \infty$ 同样是一个Banach空间