泛函分析笔记(八)Banach 空间中的lp空间和Lebesgue空间 (勒贝格空间)

文章目录

  • 1. Banach 空间的基本性质
  • 2. Banach 空间的例子
    • 2.1. 空间 l p , 1 ≤ p ≤ ∞ l^p, 1\le p\le \infty lp,1p
    • 2.2. Lebesgue 空间 L p ( Ω ) , 1 ≤ p ≤ ∞ L^p(\Omega), 1\le p \le \infty Lp(Ω),1p

1. Banach 空间的基本性质

赋范向量空间 ( X , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ) (X,||\cdot||) (X,) 称为 Banach 空间,是指距离空间 ( X , d ) (X,d) (X,d) 是完备的,这里X是的距离d定义为 d ( x , y ) : = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ d(x,y):=||x-y|| d(x,y):=xy

总而言之Banach空间是一个完备的赋范向量空间,就是性质很好。

2. Banach 空间的例子

2.1. 空间 l p , 1 ≤ p ≤ ∞ l^p, 1\le p\le \infty lp,1p

这个空间 l p l^p lp 嘛,就是p次方可和的实数序列空间

  • 映射 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p ||\cdot||_p p K n \mathbb{K}^n Kn 上的范数, ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p ||x||_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} xp=(i=1nxip)p1 ,当 p = ∞ p = \infty p= ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ ||x||_\infty = max_{1\le i \le n}|x_i| x=max1inxi
  • 对每个扩充实数 1 ≤ p ≤ ∞ 1\le p \le \infty 1p l p l^p lp 表示由 x i ∈ K x_i\in\mathbb{K} xiK 的满足:
    • 无穷序列 x = ( x i ) i = 1 ∞ x =(x_i)_{i=1}^\infty x=(xi)i=1 组成的集合
    • 1 ≤ p < ∞ 1\le p < \infty 1p< ∑ i = 1 ∞ ∣ x i ∣ p < ∞ \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p <\infty i=1xip< ,
    • p = ∞ p = \infty p= 时, s u p i ≥ 1 ∣ x i ∣ < ∞ \mathop{sup}\limits_{i\ge 1}|x_i|<\infty i1supxi<

有以下性质

  • 对每个 1 ≤ l ≤ ∞ ,   l p → ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 ∞ ∣ x i ∣ p ) 1 p 1\le l \le \infty,~l^p \to ||x||_p = (\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p)^{\frac{1}{p}} 1l, lpxp=(i=1xip)p1
  • p = ∞ p = \infty p= 时, x = ( x i ) i = 1 ∞ ∈ l ∞ → ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = s u p i ≥ 1 ∣ x i ∣ x = (x_i)_{i=1}^\infty \in l^\infty \to ||x||_\infty = \mathop{sup}\limits_{i\ge 1} |x_i| x=(xi)i=1lx=i1supxi ,则 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p ||\cdot||_p p l p l^p lp 上的范数
  • 赋范向量空间 ( l p , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p ) , 1 ≤ p < ∞ (l^p,||\cdot||_p), 1\le p < \infty (lp,p),1p< ,是可分的
  • 赋范向量空间 ( l ∞ , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ ) (l^\infty,||\cdot||_\infty) (l,) ,是不可分的
    (再想一下可分,是说这个拓扑空间有一个可数的稠密子集,就分得开)

空间 ( l p , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ p ) , 1 ≤ p ≤ ∞ (l^p,||\cdot||_p),1\le p\le \infty (lp,p),1p 就是Banach空间

2.2. Lebesgue 空间 L p ( Ω ) , 1 ≤ p ≤ ∞ L^p(\Omega), 1\le p \le \infty Lp(Ω),1p

网上有位大佬说空间 L p ( Ω ) L^p(\Omega) Lp(Ω) 就是p次方可积的函数序列空间
把上面的 l p l^p lp 里的实数换成函数,可和换成可积。

书上比较正式的定义是:

  • Ω \Omega Ω 表示 R n \mathbb{R}^n Rn 中任意一个开子集,相应的空间 L 1 ( Ω ) L^1(\Omega) L1(Ω) 由所有的实Lebesgue可积函数(的等价类)组成,即其元素是可测函数 f : Ω → [ − ∞ , ∞ ] , ∫ Ω ∣ f ( x ) ∣ d x < ∞ f:\Omega\to[-\infty,\infty],\int_{\Omega}|f(x)|dx < \infty f:Ω[,],Ωf(x)dx<
  • 将这个定义扩充,给定任何 1 < p < ∞ 11<p< ,用 L p ( Ω ) L^p(\Omega) Lp(Ω) 表示所有的可测函数(的等价类) f : Ω → [ − ∞ , ∞ ] f:\Omega\to[-\infty,\infty] f:Ω[,] 使得 ∣ f ∣ p ∈ L 1 ( Ω ) |f|^p\in L^1(\Omega) fpL1(Ω) ,或等价满足 ∫ Ω ∣ f ( x ) ∣ p d x < ∞ \int_{\Omega}|f(x)|^pdx < \infty Ωf(x)pdx< 组成的集合

和前面那句话差不多,函数的p次方可积。

Lebesgue可积(勒贝格可积): 可测函数 f : A → [ − ∞ , ∞ ] f:A\to [-\infty,\infty] f:A[,] 满足 ∫ A m a x { f ( x ) ; 0 } d x < ∞ 且 ∫ A m a x { − f ( x ) ; 0 } d x < ∞ \int_A max\{f(x);0\}dx < \infty 且 \int_A max \{-f(x);0\}dx<\infty Amax{f(x);0}dx<Amax{f(x);0}dx<
Lebesgue积分: 若f可积,其Lebesgue积分为 ∫ A f ( x ) d x : = ∫ A m a x { f ( x ) ; 0 } d x − ∫ A m a x { − f ( x ) ; 0 } d x \int_A f(x)dx:=\int_A max\{f(x);0\}dx - \int_A max \{-f(x);0\}dx Af(x)dx:=Amax{f(x);0}dxAmax{f(x);0}dx

Lebesgue 空间 L p ( Ω ) , 1 ≤ p ≤ ∞ L^p(\Omega), 1\le p \le \infty Lp(Ω),1p 同样是一个Banach空间

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