流体模拟引擎splishsplash 数学方法

参考资料: RWTH Aachen university（亚坦工业大学）的sph教程

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前言

流体模拟的研究学习博客中，我先阐述流体模拟的数学方法，再阐述流体模拟引擎splishsplash的架构和实现，使用方法。

物理仿真是视觉计算中的一个重要研究课题。它具有许多应用，包括虚拟原型，培训模拟器，机器人，用于数字制作的动画软件，包括电影和动画电影中的视觉效果以及计算机游戏。

我希望这些示例及其文档能帮助您了解仿真方法。随意在您自己的课题中使用这些示例。

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粒子系统

简单粒子系统的实现步骤

除去使用寿命>最长使用寿命的颗粒
通过发射器生成新粒子
计算所有粒子的力
时间积分以获得新的粒子位置和速度

1. 去除使用寿命>最长使用寿命的颗粒
   生成粒子时，每个粒子的生存期设置为 0。在每个仿真步骤中，寿命会随着时间步长的增加而增加δ吨.当粒子的生存时间大于预定义的最大生存期时，将从模拟中删除该粒子。生存期可用于渲染效果。在我们的例子中，透明度根据颗粒淡出的使用寿命而增加。

2. 发射器生成新粒子
   在每个仿真步骤中，都会在发射器的位置生成新的粒子。通常，它们使用一些预定义的值进行初始化，有时还会添加一些随机值以获得更自然的结果。

   在我们的模拟中，粒子以朝上的速度生成。此外，x和y方向的速度由一些随机值修改。

3. 计算所有粒子的力
   在每个步骤中，确定粒子的力，例如重力，风等。在我们的简单示例中，仅应用重力

4. 粒子关于时间t的积分公式 包括速度v，位移x，旋转角度α，已知粒子质量m与角速度ω
   $$V(t+\Delta t)=V(t)+\frac{\Delta t}{m}$$$$X(t+\Delta t)=X(t)+\Delta tV(t+\Delta t)$$$$\alpha (t+\Delta t)=\alpha (t)+\Delta t\omega$$

基础数学

狄拉克函数

$$\delta (r)=\{\begin{array}{ll}\infty & \text{r= }0\\ 0& \text{otherwise }d\end{array}$$
Dirac−δfunction称狄拉克函数，通常用于表示质点。质点只有距离刚好相等时才会出现反应，在该函数中r=0不一定是无穷大，也可以是一个常数，此外如果函数在r≠0的常数点取无穷（或常数）时表示为
$$\delta (r-r_0)=\{\begin{array}{ll}\infty & \text{r= }{r}_0\\ 0& \text{otherwise }d\end{array}$$

狄拉克恒等式

$$A(x)=(A\ast \delta )(x)={\int }_{R^d}A(x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })dv$$
根据狄拉克恒等式，我们可以选择一个核函数W(x)则有：
$$W(x)\approx (W\ast \delta )(x)$$

其中Rd是高斯核，对于高斯核N满足以下等式，图为推导

核函数W(x)的性质

实际使用较少，需要时查表自取。

通过核函数逼近（泰勒展开式）

$$(A\ast W)(x)=\int [A(x)+\nabla A{|}_x\cdot (x^{\prime }-x)+\nabla \nabla \frac{1}{2}(x^{\prime }-x)+\mathrm{O}(\Vert r{\Vert }^3)]W(x-x^{\prime },h)d{v}^{\prime }$$
$$=A(x)\int W(x-x^{\prime })d{v}^{\prime }+\nabla A{|}_x\int \cdot (x^{\prime }-x)W(x-x^{\prime })d{v}^{\prime }+\mathrm{O}(\Vert r{\Vert }^2)$$
这个积分式的结果可以表示为
$$(A\ast W)(x_i)=\int \frac{A(x^{\prime })}{\rho (x^{\prime })}W(x_i-x^{\prime },h)\underset{\text{dm’}}{\rho (x^{\prime })d{v}^{\prime }}$$
$$(A\ast W)(x_i)\approx \sum _{\begin{array}{c}j\in F\end{array}}{A}_j\frac{m_j}{{\rho }_j}W(x_i-x_j,h)=<A(x_i)>$$