勾股定理

      有一种我们熟悉到不能再熟悉的图形：三角形。想必大家都知道三角形的性质，三角形内角和等于180度，而且至少有一个直角。一个外角等于同内角的另外两个内角之和。在三角形中，还有一种特殊三角形叫做直角三角形。直角三角形除了拥有基本三角形的性质，还具有其他性质。在这其中，就有一个是我们今天的主角。没错，就是所谓的“勾股定理”。

      （想必大家已经知道了公式，不知道的可以详细听我来讲。知道的可以跳过下面这段，不知道的可看）

      直角三角形的内角和同样是180度。在其具有一个直角的情况下，其他两锐角是互余的。也就是说两锐角之和是90度。因为内角和减去直角度数（180-90）就是理所当然的90度（=90）。除了上述性质，我一直有一种直觉，觉得直角三角形的两条直角边可以通过某种方式得到斜边或者是关于斜边的数。于是我在一张方格图上一直尝试鼓捣出些什么来，结果，惊喜出现了！......

      我是在方格图上先画了一个直角三角形的两条直角边，单位（长度）分别是3、4。然后在两条线的端点做了三角形的斜线，并分别标注了点A、B、C。然后我以C点为圆心，以AC线段为半径画弧，落三角形之外，如下图：

      哎？这条弧的落点为什么如此奇怪？我没看错的话，难道是与方格点重合了？我在康康：

      的确是！这条弧竟然余方格点重合了，得出了另外一个点，我们就暂且称之为A'。然后我又将A'链接了C点，结果发现：

      哟！竟然出现了一条单位为5的线段！

      通过这个现象可以发现什么？没错，就是直角三角形ABC三条边之间的关系。那么到底有什么关系？3、4、5，除了是连续整数好像什么也不是。但我尝试了一下将三条边分别平方，通过某种关系组合，发现：

      两条直角边平方（分别）之和竟然是斜边的平方！So this is勾股！这个性质应该就是在开头所想的“两条直角边可以通过某种方式得出斜边或者关于斜边的数”。虽然得到了“证实”，但是还是得保持冷静，这个性质在所有的直角三角形上都能得到证实吗？所以还得选取另一种方法去证明。于是我继续在方格上鼓捣：

      哎？试了一下的我，好想发现c方只能取一个近似值，虽然说3平方➕3平方等于的18的确和4.3乘4.3等于的18.49大致相等，但也只能取近似的值。而且像这样的斜线一定不能用有理数表达的，我用尺子量的肯定不准确（这个点可以取参考根号的作用）。所以，到底该如何去证明呢？

    我认为可以通过在开头的例子中边长为3、4、5的直角三角形“做实验”，来证明：

      没错，我在画直角三角形之余，也为三条边填上了相对应的边，组成了正方形。

      在图上，我表明了三条直角三角形的边a、b、c。那他们相对应的正方形就是a方、b方、c方（虽然格子有单位，但是我们这里暂且称字母）。现在我们假设要计算c方，也就是大正方形的面积，但我们不知道C等于什么，但是确定a等于3，b等于4，那我们该怎么求c？现在直角三角形的面积是3✖️4➗2=6，用字母表示就是1/2ab。要求大正方形，学习过割补和整式的我开始行动。我决定再创造一个大的图形，然后让这个大图形减去其他图形得到边长为C正方形的面积。话不多说，开搞！

      如果是大图形，看到直角三角形的我发现了什么：

      哎嘿，用直角三角形斜边对边长填补了正方形的边，成为了另一个大正方形！而且大正方形的边长是直角三角形的两直角边之和，也就是a➕b。按照此来推算边长为c正方形的面积，得出式子再化简，如下图：

      通过计算，我得出边长为c正方形面积为a方➕b方......哎？哦！这个正方形本来不就是c方吗？所以a方➕b方=c方！进一步带入数字，a方➕b方=9➕16=25，25正好是5的平方！3方➕4方=5方，这不正好验证了勾股定理？

      但是，这是否只是一个特例？性质对于其他直角三角形有效吗？就像是“同位角相等，两直线平行”一样，难道要找无数个特例去证明吗？要知道如果证明起来就无边无境了，毕竟整数可带入a方➕b方=c方的库存可是不小（5、12、13；8、15、17；7、24、25......），如果碰到斜线为根号2这样的“无理数”情况，你还能证吗？所以我有个想法：字母不是可以表示任何数吗？如果将每一种情况（数值）都带入字母，并且用刚才的方法去证，总是正确的。

于是就会出现各种各样的情况

      那么如果三角形边的长度是小数，可以吗？毫无疑问按照刚才的理论是可以的，但小数也有见效的时候。

图片来源张袆凡，其实这张图也是勾股证明方法！

      虽然存在“略等于”的误差，但是小数的效果还是非常明显了，而且有字母在背后撑腰，勾股定理永远不会倒塌！哦对了，边长可不能是负数哈......

      那么我就有新问题了：勾股定理难道只是适用于直角三角形？可以把勾股定理当作判定直角三角形的方法吗？我们下期再接着讨论，拜拜！

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      哦，对了，其实还有一个关于勾股的证明，那就是美国总统加菲尔德的证明方法：

      证明过程：

      不知大家能不能看懂，其实等式左边就是整个图形（梯形）的计算算式，右边是通过计算一个个梯形之间的面积再加起来，就是梯形本身的面积。再化简就得到a方➕b方=c方了。

      加菲尔德通过图像写出了一个等式，并且化解得到了勾股定理的公式。但是从图中可以看出，最大的直角三角形的两条直角边长度相同，所以这说明此方法只对等腰直角三角形的勾股定理有效，不具有普遍性。非等腰直角三角形也可以，就比如说在文章开头的那一个直角三角形ABC（边长分别为3、4、5）。

      探究到底结束，下次再见！