矩阵特征值和特征向量（Eigenvalue and Eigenvector）

定义

矩阵 A 为 n 阶方阵，它的特征向量（eigenvector）v 经过这个线性变化之后，得到的新向量仍然与原来的 v 保持再同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即 ，其中 为标量，即特征向量的长度在该线性变化下缩放比例，称 为其特征值（eigenvalue）。

根据定义，我们需要满足 ，。使用左手法则，我们可以得到 ，对应 ，这是关于标量 x 的 n 阶齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式为零，也就是 。

含义

如果特征值为正，则表示 v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为 0，则是表示缩回零点。但无论怎么样，仍在同一条直线上。

举例

假设 。求对应的特征向量和特征值。

根据 ，我们可以写出 ，也就是 ，通过计算对应的行列式为 ，也就是 。

这样，我们得到了两个可能的特征值，即。

下面我们将对应的特征值代入 中。

当 ，对应的方程变为 ，展开我们可以得到方程 ，使用左手法则得到 ，每个方程都给出了 ，这样我们可以得到一个非零的特征向量，即 。下面我们来验证这个特征向量的正确性，同样代入到方程可得 ，验证完毕。

当 ，对应的方程变为 ，展开我们可以得到方程 ，使用左手法则得到 ，每个方程都给出了 ，这样我们可以得到一个非零的特征向量，即 。下面我们来验证这个特征向量的正确性，同样代入到方程可得 ，验证完毕。