矩阵特征值和特征向量(Eigenvalue and Eigenvector)

定义

矩阵 A 为 n 阶方阵,它的特征向量(eigenvector)v 经过这个线性变化之后,得到的新向量仍然与原来的 v 保持再同一条直线上,但其长度或方向也许会改变。即 A\nu =\lambda \nu,其中 \lambda 为标量,即特征向量的长度在该线性变化下缩放比例,称 \lambda 为其特征值(eigenvalue)。

根据定义,我们需要满足 Ax =\lambda xAx=\lambda xI=\lambda Ix。使用左手法则,我们可以得到 Ax-\lambda Ix=0,对应 (A-\lambda I)x=0(A-\lambda I)x=0,这是关于标量 x 的 n 阶齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式为零,也就是 det(A-\lambda I)=0

含义

如果特征值为正,则表示 v 在经过线性变换的作用后方向也不变;如果特征值为负,说明方向会反转;如果特征值为 0,则是表示缩回零点。但无论怎么样,仍在同一条直线上。

举例

假设 A=\begin{bmatrix} -6 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix}。求对应的特征向量和特征值。

根据 \left \| A-\lambda I \right \|=0,我们可以写出 |\begin{bmatrix} -6 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}|=0,也就是 \left \| \begin{bmatrix} -6-\lambda & 3\\ 4 & 5-\lambda \end{bmatrix} \right \|=0,通过计算对应的行列式为 (-6-\lambda )(5-\lambda )-3*4=0,也就是 \lambda ^2+\lambda -42=(\lambda -6)(\lambda +7)=0

这样,我们得到了两个可能的特征值,即\left\{\begin{matrix} \lambda_1=-7\\ \lambda_2=6 \end{matrix}\right.

下面我们将对应的特征值代入 Ax=\lambda x 中。

\lambda=6,对应的方程变为 \begin{bmatrix} -6 & 3\\ 4& 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=6\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix},展开我们可以得到方程 \left\{\begin{matrix} -6x_1+3x_2=6x_1\\ 4x_1+5x_2=6x_2 \end{matrix}\right.,使用左手法则得到 \left\{\begin{matrix} -12x_1+3x_2=0\\ 4x_1-x_2=0 \end{matrix}\right.,每个方程都给出了 x_2=4x_1,这样我们可以得到一个非零的特征向量,即 \begin{bmatrix} 1\\ 4 \end{bmatrix}。下面我们来验证这个特征向量的正确性,同样代入到方程可得 \begin{bmatrix} -6 & 3\\ 4& 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6*1+3*4\\ 4*1+5*4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6\\ 24 \end{bmatrix}=6\begin{bmatrix} 1\\ 4 \end{bmatrix},验证完毕。

\lambda =-7,对应的方程变为 \begin{bmatrix} -6 & 3\\ 4& 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=-7\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix},展开我们可以得到方程 \left\{\begin{matrix} -6x_1+3x_2=-7x_1\\ 4x_1+5x_2=-7x_2 \end{matrix}\right.,使用左手法则得到 \left\{\begin{matrix} x_1+3x_2=0\\ 4x_1+12x_2=0 \end{matrix}\right.,每个方程都给出了 x_1=-3x_2,这样我们可以得到一个非零的特征向量,即 \begin{bmatrix} -3\\ 1 \end{bmatrix}。下面我们来验证这个特征向量的正确性,同样代入到方程可得 \begin{bmatrix} -6 & 3\\ 4& 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (-6)*(-3)+3*1\\ 4*(-3)+5*1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 21\\ -7 \end{bmatrix}=-7\begin{bmatrix} -3\\ 1 \end{bmatrix},验证完毕。

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