Hnoi2013题解 bzoj3139~3144
话说好久没写题（解）了。。
先贴份题解：http://wjmzbmr.com/archives/hnoi-2013-%E9%A2%98%E8%A7%A3/（LJ神题解。。Lazycal表示看不懂。。）
以下是Lazycal's题解：
[bzoj3139][Hnoi2013]比赛
对于一个得分序列，可以发现不论如何排列，答案都是一样的。而且n的得分序列可以由n-1的推来。于是，我们可以搜索第一个队伍与其他队伍的比赛结果，由比赛结果得出n-1支队伍的得分序列，递归搜索。然后用每个队伍的得分和队伍个数作为状态，对每个状态进行压缩，利用最小表示法。由于每个队伍最多只能得27分，所以状态总数不超过28^9/(9!)*2（因为只能存在一个0）为千万级别，可以接受。
代码(………………将就着用吧,两种代码高亮的混合使用…………)
[bzoj3140][Hnoi2013]消毒
假设我们选择x*y*z(x<y<z)这样一块区域，则费用为x。也就是说，我们可以视作x次的1*y*z。又因为a*b*c<=5000，所以min{a,b,c}<=17。不妨设min{a,b,c}=a。因此答案<=a。一开始还以为只要把需要消的1*b*c消了就可以了。结果去网上查了题解才知道这样并不一定是最优的……
正解应当是用2^a枚举哪个1*b*c要取，然后转化成二维的最小棋盘覆盖。最小棋盘覆盖就是用最少的行或列把指定点覆盖。没错，这个我也不会……
膜拜了abcdabcd987的题解后才明白。其实是最小点覆盖的模型。只要把行和列拆开，作为二分图的X和Y顶点，然后对于需要覆盖的点从所属的行连向列即可。
/**************************************************************
Problem: 3140
User: lazycal
Language: C++
Result: Accepted
Time:1192 ms
Memory:1320 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=5000+9;
int ans,a,b,c,T,vis[N],match[N],num,son[N],ec,times;
bool t[N];
struct Edge{int link,next;}es[N*10];
inline void addedge(const int x,const int y)
{
es[++ec].next=son[x];
es[ec].link=y;
son[x]=ec;
}
struct point
{
int x,y,z;
point(const int _x=0,const int _y=0,const int _z=0):x(_x),y(_y),z(_z)
{
if (a<=b && a<=c) std::swap(x,x);
else if (b<=a && b<=c) std::swap(x,y);
else std::swap(x,z);
}
}one[N];
bool find(const int u)
{
for (int i=son[u];i;i=es[i].next) {
const int v=es[i].link;
if (vis[v]==times) continue;
vis[v]=times;
if (!match[v]/*BUGS!!!*/ || find(match[v])) {
match[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}
void dfs(const int step,int cnt)
{
if (cnt>=ans) return;
if (step>a) {
ec=0;
for (int i=1;i<=b;++i) son[i]=0;
for (int i=0;i<num;++i)
if (!t[one[i].x]) addedge(one[i].y,one[i].z);
for (int i=1;i<=c;++i) match[i]=0;
for (int i=1;i<=b;++i) {
++times;
if ((cnt+=find(i))>=ans) return;
}
ans=cnt;
return;
}
t[step]=1;
dfs(step+1,cnt+1);
t[step]=0;
dfs(step+1,cnt);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("3140.in","r",stdin);
freopen("3140.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&T);
while (T--) {
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
num=0;
for (int i=1;i<=a;++i)
for (int j=1;j<=b;++j)
for (int k=1,x;k<=c;++k) {
scanf("%d",&x);
if (x) one[num++]=point(i,j,k);
}
if (a<=b && a<=c) std::swap(a,a);
else if (b<=a && b<=c) std::swap(a,b);
else std::swap(a,c);
ans=a;
dfs(1,0);
printf("%d\n",ans);
}
}
[bzoj3141][Hnoi2013]旅行
这题非常神！的的确确是个好题！
这题我是看着http://tieba.baidu.com/p/2283515454?pid=31800289139&cid=0#318002891399楼的回复以及http://cxjyxx.me/?p=329的题解才懂的……表示自己太弱了……
注：以下a[i],b[i],n,m如题目所述。
首先我们考虑特殊情况，并将b[i]为0的项赋值为-1，令S为所有数之和：
- 全1。此时不难发现答案是|S|/m上取整。
- 全-1。同上，为|S|/m上取整。
- 一半1，一半-1。我们将较少的1or-1与另一边抵消。如 1 1 1 1 1 -1 -1 ------> 1 1 1 (1 1 -1 -1)，这样就跟上面的大概一样了。
- 其它情况也差不多。
猜测：ans=|S|/m上取整(S!=0)。
答案：
- ans>=|S|/m上取整，这很显然。
- m<=|S|:不妨设S>0，则将所有的-1根附近的1消掉，最终便只剩1了，ans=|S|/m上取整。
- m>|S|:令s[i]=b[i]+b[i+1]+...+b[n]
- S=0:
- 若s[i]=0的个数>=m,则ans=0，此时取最后一个点和后m-1个s[i]=0的点即可。
- 否则ans=1。因为若ans要为0，则所选的最后一个点必须满足s[i]=0（因为s[i]即为最后的旅途），倒二个也是，依此类推，所选的点s[i]都为0。但s[i]=0的个数<m，所以ans>=1。数据构造：观察s数组，必定是0 1……1 0……0 1……1 0。也就是像一个个小山一样。每次取一条等高线，就可符合题意。
- S!=0:我们首先选出|S|个数，这步同2。剩下的便是一个个与上一个问题一样的子问题了。
- S=0:
字典序：
- S=0 且 m<= s[i]=0的个数：此时只要在s[i]=0的所有i中跑单调队列即可。即维护队列里面a[i]从小到大，然后按照输入顺序入队，只要后面s[i]=0的个数还足够，就一直入队。
- 其它情况：这个比较麻烦。假设我们上一次选了a[last],则下次的i需满足abs(s[last+1]-s[i])<=ans 且 s[i+1]/m'上取整<=ans(m'为剩下的天数) 且 n-i>=m，就相当于一个子问题。于是，可以按s[i]分类，为每个s[i]开一个队列，维护队列a[i]单调递増，只要后面的个数够，就不断入队。选的时候从s[last]-ans到s[last]+ans枚举，先把下标<last的弹出，然后选出a[i]最小的一个。详见代码。
/**************************************************************
Problem: 3141
User: lazycal
Language: C++
Result: Accepted
Time:2696 ms
Memory:41820 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <queue>
#define _(x) static_cast<double>(x)
#define __(x) static_cast<int>(x)
const int N=500000+9;
int n,m,sum[N],cnt[N],a[N],tot;
struct node{int l,r,x;}t[N*2];
int newnode(const int l,const int r,const int x)
{
t[++tot].x=x; t[tot].l=l; t[tot].r=r;
return tot;
}
class Queue
{
int be,en,len;
public:
void push_back(int x)
{
if (!len) be=en=newnode(0,0,x);
else t[en].r=newnode(en,0,x),en=t[en].r;
++len;
}
bool empty(){return !len;}
int front(){return t[be].x;}
int back(){return t[en].x;}
void pop_back()
{
en=t[en].l;
--len;
}
void pop_front()
{
be=t[be].r;
--len;
}
void push(int x)
{
while (!empty() && a[back()]>a[x]) pop_back();
push_back(x);
}
}Qu[N*2],*qu=Qu+N,Q[N*2],*q=Q+N;
int Min(const int x,const int y)
{
if (a[x]<a[y]) return x;
return y;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("3141.in","r",stdin);
freopen("3141.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%d%d",a+i,sum+i);
if (!sum[i]) sum[i] = -1;
}
for (int i=n-1;i;--i) sum[i] += sum[i+1];
for (int i=n;i;cnt[i] += cnt[i+1], --i)
if (!sum[i]) ++cnt[i];
int S = sum[1], d = S ? (abs(S) - 1)/m + 1 : cnt[1] < m;
cnt[n+1]=-1;
if (!d) {
for (int i=1,j=2; i<m; ++i) {
for (; cnt[j+1]>=m-i; ++j)
if (!sum[j+1]) q[0].push(j);
printf("%d ",a[q[0].front()]);
q[0].pop_front();
}
}else {
a[n+1]=n+1; int la = 0;
for (int i=2; i<=n; ++i)
qu[sum[i]].push_back(i-1);
for (int i=1; i<m; ++i) {
int ans = n+1;
for (int j=sum[la+1]-d; j<=sum[la+1]+d; ++j) {
if (__(ceil(_(abs(j))/(m-i))) > d) continue;
for (; !qu[j].empty() && n-qu[j].front() >= m-i; qu[j].pop_front())
/*printf("test: %d\n",qu[j].front()),*/if (qu[j].front() > la) q[j].push(qu[j].front());
for (; ! q[j].empty() && q[j].front() <= la; q[j].pop_front());
if (!q[j].empty())
ans = Min(ans,q[j].front());
}
la = ans;
printf("%d ",a[ans]);
}
}
printf("%d",a[n]);
}
[bzoj3142][Hnoi2013]数列
这题也不会……实在是太弱了
令a[i]为相邻两天股票价格之差，可以发现对于一个a序列，对ans的贡献是N-a[1]-a[2]-...-a[K-1]。于是答案就是N*M^(K-1)-M*(M+1)/2*M^(K-2)*(K-1)
/**************************************************************
Problem: 3142
User: lazycal
Language: C++
Result: Accepted
Time:0 ms
Memory:804 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
long long P;
long long power(long long x,int k)
{
long long res=1;
for (;k;x=x*x%P,k/=2)
if (k&1) res=res*x%P;
return res;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("3142.in","r",stdin);
freopen("3142.out","w",stdout);
#endif
//N*M^(K-1)-M*(M+1)/2*M^(K-2)*(K-1)
long long N,K,M;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&N,&K,&M,&P);
if (K==1) {printf("%lld\n",N%P);return 0;}
long long tmp=power(M,K-2),ans=(N%P*tmp%P*M%P-M*(M+1)/2%P*tmp%P*(K-1)%P)%P;
printf("%lld\n",(ans+P)%P);
}
[bzoj3143][Hnoi2013]游走
这题……不讲了……高斯消元……
/**************************************************************
Problem: 3143
User: lazycal
Language: C++
Result: Accepted
Time:1008 ms
Memory:6880 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
const int N=500+9,M=N*N;
const double EPS = 1e-9;
struct edge{int u,v;}es[M];
double times[M],a[N][N];
int d[N],n,m;
void Guass(int equ,int val)
{
for (int col = 1, row = 1; col <= val; ++col, ++row) {
int maxr = row;
for (int i = row + 1; i <= equ; ++i)
if (fabs(a[i][col]) > fabs(a[maxr][col])) maxr = i;
if (maxr != row) for (int i = col; i <= val + 1; ++i) std::swap(a[maxr][i],a[row][i]);
for (int i = col + 1; i <= val + 1; ++i) a[row][i] /= a[row][col];
a[row][col] = 1;
for (int i = 1; i <= equ; ++i)
if (i != row) {
for (int j = col + 1; j <= val + 1; ++j)
a[i][j] -= a[i][col]*a[row][j];
a[i][col]=0;
}
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("3143.in","r",stdin);
freopen("3143.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;++i) {
scanf("%d%d",&es[i].u,&es[i].v);
++d[es[i].u]; ++d[es[i].v];
}
for (int i=1;i<=m;++i) {
a[es[i].u][es[i].v]=-static_cast<double>(1)/d[es[i].v];
a[es[i].v][es[i].u]=-static_cast<double>(1)/d[es[i].u];
}
for (int i=1;i<n;++i)
a[i][i]=1,a[i][n]=0;
a[n][n]=0;
a[1][n]=1;
Guass(n-1,n-1);
for (int i=1;i<=m;++i)
times[i]=a[es[i].u][n]/d[es[i].u]+a[es[i].v][n]/d[es[i].v];
std::sort(times+1,times+1+m);
double ans=.0;
for (int i=1;i<=m;++i) ans+=times[i]*(m-i+1);
printf("%.3f\n",ans);
}
[bzoj3144][Hnoi2013]切糕
网络流最小割。增加一层，然后每层向上层连一条边，容量为下层点权。对于第k层的点，每个点都向k-d层连一条容量为无穷大的边。源向底层每个点连容量为无穷大的边，顶层向汇连容量为无穷大的边。然后跑一遍最小割。
/**************************************************************
Problem: 3144
User: lazycal
Language: C++
Result: Accepted
Time:964 ms
Memory:9260 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N=65602,INF=0x7fffffff;
int src,sink,Vc,cnt[N],dis[N],ec,p,q,r,d,son[N];
struct Edge
{
int next,v,f;
}es[N*10];
inline int node(const int x,const int y,const int z){return x*p*q+y*q+z;}
inline void addedge(const int x,const int y,const int z)
{
es[ec].v=y; es[ec].f=z;
es[ec].next=son[x]; son[x]=ec++;
}
inline void Addedge(const int x,const int y,const int z){addedge(x,y,z);addedge(y,x,0);}
int sap(const int u,const int aug)
{
if (u==sink) return aug;
int sum=0,mindis=Vc;
for (int i=son[u];i!=-1;i=es[i].next) {
const int v=es[i].v;
if (es[i].f && dis[v]+1==dis[u]) {
int t=sap(v,std::min(aug-sum,es[i].f));
sum+=t; es[i].f-=t; es[i^1].f+=t;
if (sum==aug || dis[src]>=Vc) return sum;
}
if (es[i].f && mindis>dis[v]) mindis=dis[v];
}
if (!sum) {
if (!--cnt[dis[u]]) dis[src]=Vc;
++cnt[dis[u]=mindis+1];
}
return sum;
}
int max_flow()
{
cnt[0]=Vc;
int flow=0;
while (dis[src]<Vc) flow+=sap(src,INF);
return flow;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("3144.in","r",stdin);
freopen("3144.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&d);
memset(son,-1,sizeof son);
for (int i=0;i<r;++i)
for (int j=0;j<p;++j)
for (int k=0,x;k<q;++k) {
scanf("%d",&x);
Addedge(node(i,j,k),node(i+1,j,k),x);
if (i-d>=0) {
if (j-1>=0) Addedge(node(i,j,k),node(i-d,j-1,k),INF);
if (j+1<p) Addedge(node(i,j,k),node(i-d,j+1,k),INF);
if (k-1>=0) Addedge(node(i,j,k),node(i-d,j,k-1),INF);
if (k+1<q) Addedge(node(i,j,k),node(i-d,j,k+1),INF);
}
}
Vc=(r+1)*p*q+2,src=(r+1)*p*q,sink=(r+1)*p*q+1;
for (int i=0;i<p;++i)
for (int j=0;j<q;++j)
Addedge(src,node(0,i,j),INF),Addedge(node(r,i,j),sink,INF);
printf("%d\n",max_flow());
}