墨卡托投影 Mercator projection

圆柱面投影

坐标变换

正轴墨卡托投影（正球模型）

横坐标

在纬度处，经线实际周长为

在图上的周长为

在纬度处，变换因子

为了保证等角投影，要求y方向上有同样的变换因子：
$\left \{ \begin{array}{c} y_0 = \phi\cdot R = R\cdot\int_0^\phi 1d\phi \\ \ \\ y = R\cdot h(\phi) =R\cdot\int_0^\phi h'(\phi)d\phi \\ \ \\ {y\over y_0} =\lim_{\Delta\phi\to\phi} {h(\phi + \Delta\phi)-h(\phi)\over (\phi+\Delta\phi)-\phi} =h'(\phi)= k(\phi)=\sec\phi \end{array} \right .$

最后坐标变换

当时解得85.0511287798066°

正轴墨卡托投影(椭球模型)

参数定义

长轴 a，地球赤道半径为 6377563.396 m
短轴 b，地球两级半径为 6356256.910 m
离心率

坐标变换

数学太差，放弃治疗，以下来自维基百科

Web 墨卡托

定义

Web Mercator 坐标系使用的投影方法不是严格意义的墨卡托投影，而是一个被 EPSG（European Petroleum Survey Group）称为伪墨卡托的投影方法，这个伪墨卡托投影方法的大名是 Popular Visualization Pseudo Mercator，PVPM。因为这个坐标系统是 Google Map 最先使用的，或者更确切地说，是Google 最先发明的。在投影过程中，将表示地球的参考椭球体近似的作为正球体处理（正球体半径 R = 椭球体半长轴 a）。后来，Web Mercator 在 Web 地图领域被广泛使用，这个坐标系就名声大噪。尽管这个坐标系由于精度问题一度不被GIS专业人士接受，但最终 EPSG 还是给了 WKID:3857。

以整个世界范围，赤道作为标准纬线，本初子午线作为中央经线，两者交点为坐标原点，向东向北为正，向西向南为负。

X轴：由于赤道半径为6378137米，则赤道周长为2PIr = 20037508.3427892，因此X轴的取值范围：[-20037508.3427892,20037508.3427892]。

Y轴：由墨卡托投影的公式可知，当纬度φ接近90°时，y值趋向于无穷。

为了方便实现一级地图在长度上一分为二，也就是在高一级精度上用4张切片地图显示，最好将xy轴显示的取值范围统一，为此Y轴的取值范围也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之间。

通过计算纬度最大值就是85.0511287798066°

另外值得一提的是，现在网上大部分地图瓦片瓦片都是基于Web墨卡托的，就是第0层1一张图片，第1层2*2张图片...,如果使用OpenLayers可以很好的调用公共服务器
编号

EPSG:3857
EPSG:102100
EPSG:900913 (谷歌自己起的，没有被EPSG接受，900913=google)

转换方法

//经纬度转web墨卡托
coord lonLat2WebMercator(coord lonLat)
{
    dvec3  mercator;
    double x = lonLat.x *20037508.34/180;
    double y = log(tan((90+lonLat.y)*PI/360))/(PI/180);
    y = y *20037508.34/180;
    mercator.x = x;
    mercator.y = y;
    return mercator ;
}
//Web墨卡托转经纬度
coord webMercator2lonLat( coord   mercator )
{
    dvec3 lonLat;
    double x = mercator.x/20037508.34*180;
    double y = mercator.y/20037508.34*180;
    y= 180/PI*(2*atan(exp(y*PI/180))-PI/2);
    lonLat.x = x;
    lonLat.y = y;
    return lonLat;
}