第二章____一元函数微分学

大纲中包含两章：
① 导数与微分
② 一元函数微分学的应用

第一节 导数与微分

️‍ 2.1.1 概念理论

导数与微分的概念和理论

（一）导数的概念

导数的概念是难点

【定理】
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

》导数实质上是一个极限，函数量改变量与自变量改变量之比的极限；
这个极限反映了在这一点函数值相对于自变量的变化率；
》极限存在则称可导，极限不存在则称不可导

动点减定点才是变化率；
若均为动（定）点，则不是变化率

导数与左右导数之间的关系，实际上就是极限与左右极限之间的关系

【*补】
设函数可导，
① 若函数为奇函数，则导函数为偶函数；
② 若函数为偶函数，则导函数为奇函数；
③ 若函数为周期函数，则导函数为周期函数，且周期相同。

（二）微分的概念

》上面说到，
导数是函数改变量的变化率
微分是函数改变量的变化率的近似值

函数在一点的改变量是随自变量改变量变化的，即 $f(x_0+△x)-f(x_0)$ 为自变量改变量的一个函数;
若函数的改变量可写成 $A△x+0(△x)$ ，此时称函数在该点处可微
其中，称 $A△x$ 定义为函数在这一点处的微分；
》之所以这样定义，是因为 $A△x$ 有两大特征：
① $A△x$ 是 $△x$ 的线性函数
② $A△x$ 是 $△y$ 的主要部分
》所以说微分是函数改变量的近似值
微分是函数改变量的线性主部
》用微分近似地表示函数的改变量；就是用线性函数来近似这样的一般函数
》线性函数代表均匀变化，所以用微分代替函数改变量，实际上就是用均匀变化代替非均匀变化
这是处理非均匀变化的一个核心思想
在一个微小的局部，把一个非均匀变化的量，用一个均匀变化的量来代替，而均匀变化的量可以用线性的方法解决

考卷中经常考导数的概念以及可导性的判定，而很少考可微性的判定；
因为一元函数中，可导与可微是等价的；
用导数定义判定可导性，比用可微定义判定可微性方便很多；
{该定理的意义}
① 解决了可微的判定问题；
② 解决了可微的计算问题
微分等于导数乘自变量的改变量

（三）导数与微分的几何意义

导数的几何意义：函数所对应的曲线在一点处切线的斜率

用微分来代替函数的改变量，
几何上就是用切线的改变量（均匀变化）来代替曲线的改变量（非均匀变化）
？？？
对于根号x在0处的切线的斜率怎么看？
是存在还是不存在？
导数肯定是不存在，但斜率存在不？
？？？

（四）连续、可导、可微之间的关系

不可将导数与微分混为一谈，只能说存在性相同

【例】

描述：
用洛必达法则求抽象函数的极限

本题也可用泰勒，因为是极限问题，故用局部泰勒

（五）补充

函数的左右导数，与导函数的左右极限无关，两者互相不可推之。

️‍ 2.1.2 基本运算

导数公式及求导法则

（一）求导公式

基本初等函数的导数公式

（二）求导法则

求导法有以下几种,
最核心的是前两种，解决了初等函数的求导问题

1	有理运算求导法则 ⭐️
2	复合函数求导法则 ⭐️
3	隐函数求导法则
4	反函数的求导
5	参数方程求导法
6	对数求导法

① 有理运算法则

由于乘除的运算法则比加减复杂，常采取化乘除为加减的方法，即对数求导法

② 复合函数求导法则

【例】

③ 隐函数求导法则

两种方法：
① 两侧对x求导
② 用偏导数表示

④ 反函数的求导

  若 $y=f(x)$ 在某区间内可导，且 $f^{\prime }(x)\ne 0$ ，则其反函数 $x=\varphi (y)$ 在对应区间内也可导，且
$$\varphi (y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}；即\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

【例】

⑤ 参数方程求导法

⑥ 对数求导法

一般遇到连乘或连除，可选择对数求导法

️‍ 2.1.3 高阶导数

（一）高阶导数的概念

n阶导数指(n-1)阶导函数的导数

（二）常用的高阶导数公式

️‍ 【补充】

【f(x) 与 |f(x)| 可导性的关系】

️‍ 2.1.4 常考题型与典型例题

强化班题型归类

题型一 导数与微分的概念

主要就是导数的概念问题

（一）利用导数定义求极限

【例】

【例】

【例】

【例】

凑一点的导数定义形式
解法二：

（二） 利用导数定义求导数

分段函数在分界点处求导一般都用导数定义

【例】（技巧题）

本题不局限于导数定义，
注意解法二中，令部分整体为函数的解题方法

【例】（常规题）

描述：求分段点处的导数，常用导数定义
补充：一些补充的等价无穷小代换需要熟练掌握

【例】（常规题）

描述：基础题，熟练做题思路
补充：无

（三）利用导数定义判断函数可导性⭐️

既是重点也是难点
此处归纳该种题型有哪些出题方式，解题的一般方法是什么

【例】

【例】

左边推右边：是由导数存在推左（右）导数存在，可行
右边推左边：是由左（右）导数存在推导数存在，不可行

【例】注意结论

【例】【真】

结合上一题的结论

【真】

同样利用结论
总结已有题型，是为了后面做题能更快

【例】函数可导性与绝对值可导性之间的关系

函数可导性与绝对值可导性之间的关系

---

---

【题型总结：函数可导性与绝对值可导性之间的关系】

【例】

【例】

证明连续一阶导数，需要证两点
1、一阶导数存在
2、一阶导函数连续


》二阶可导不能保证二阶导函数连续，甚至不能保证二阶导数有极限
》在洛必达不能继续进行时，往往可采用导数定义

题型二 导数的几何意义

常考平面曲线方程，常有三种
直角坐标系下、参数方程形式、极坐标下
曲线的切线、法线等

【例】

直角坐标系下，求切线方程

【例】

参数方程形式下，求法线方程

【例】

【例】

题型三 导数与微分的计算

一、复合函数求导

【例】（常规题）

》描述：常规的复合函数求导
》补充：结合了

• 常见的奇偶函数
• 奇(偶)函数的n阶导的奇偶性

【例】

【例】

【例】

描述：
补充：需注意使用定义法时，动点的两个条件

二、隐函数求导

【例】

【例】

【例】

三、参数方程求导

【例】

【例】

四、反函数求导

考频不高，但不可忽视

【例】

五、对数函数求导法

【例】

本题有两种方法（实际上算是一种）
方法一：对数求导法
方法二：改写成指数，再用复合函数求导法（实际上同方法一）

遇到连乘连除，求导不方便，可采用对数求导法

六、高阶导数

常用方法：（三种方法）
1、用已知公式
2、通过求前几阶的导数，归纳n阶导数
3、利用泰勒级数（公式）

其中，
方法一、二用作求n阶导函数
方法三，适用于具体点

【例】

此类型可用公式，也可写成负指数幂的形式归纳推导

【例】
利用公式

【例】

本题为归纳法

【例】

【例】

解法一，使用导数的乘法公式
解法二，对于具体点，推荐使用泰勒级数（公式）
求哪个点，就写哪个点的泰勒级数（公式）

第二节 导数应用

️‍ 2.2.1 微分中值定理

微分中值定理是基础；
是建立导数与函数的桥梁

此处共四个微分中值定理
（未包含积分中值定理）


前三个微分中值定理建立了一阶导数与函数之间的关系
而高阶导数与函数之间的关系由泰勒中值定理（带有拉格朗日余项的泰勒公式）来建立

泰勒有两个，
一个叫皮亚诺余项的泰勒公式，研究局部性态，又称局部泰勒公式 （极限部分已讲解）；
一个叫拉格朗日余项的泰勒公式，研究整体性态，又称整体泰勒公式
通常将带有拉格朗日余项的泰勒公式也叫做泰勒中值定理

》理论上，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，即罗尔可证明的题，拉格朗日一定可证明（证明难度有区别）
同样，拉格朗日与柯西也是同样的关系
》罗尔定理虽然是拉格朗日以及柯西的特例，
但拉格朗日以及柯西都是构造辅助函数后，用罗尔定理证明所得，
注意体会罗尔定理的重要性
》中值定理中有一大堆题，都是构造辅助函数用罗尔定理证明（关键在于辅助函数的构造）
》四大中值定理之间的关系

泰勒中值定理中，取n为零，则成拉格朗日中值定理（拉是泰勒的特例）

【有关局部与整体】

【局部泰勒公式与整体泰勒公式】
首先要区分局部泰勒公式与整体泰勒公式
带有佩亚诺余项的为局部泰勒公式；
带有拉格朗日余项的为整体泰勒公式
【局部性态与整体性态】
局部性态： 只和一点的临近有关，叫做局部性态，如：极限、极值
整体性态：和极值对应的最值，因为最值是在一个区间上，强调的是整个区间的性态，而非一点临近的性态；
以及不等式，不等式强调的也是区间，既然是区间，则一定是整体性态，用整体泰勒公式

️‍ 2.2.2 极值与最值

关于极值这里，注意一个必要条件和三个充分条件

1、极值的概念

注意，极值是一个局部性态

2、极值的必要条件

一阶导为零

当无可导的条件时，极值点与驻点无关
在可导的条件下，
极值点可推驻点，
驻点不可推极值点
言外之意：一个函数可导，则极值点只有可能在驻点上取
在不可导的地方，极值点只可能在导数不存在的点取到

3、极值的充分条件

极值共有三条充分条件

1	第一充分条件
2	第二充分条件
3	第三充分条件

（1）第一充分条件

第一充分条件：看驻点两侧一阶导数是否变号
变号，是极值；不变号，不是极值

当然，极值也可能存在于导数不存在的点，所以，若一点的一阶导数不存在，此时是否可用第一充分条件判定？
所以在第一充分条件里，附加了一个条件（函数在一点连续）
故此时，若一点处无导数，但在这一点处连续，仍然可以用第一充分条件判定
所以第一充分条件可以判定两种点：
1、驻点
2、导数不存在的点

（2）第二充分条件

第二充分条件加强了条件，这里是二阶可导

在函数的条件比较好，在有二阶导数且不为零的情况下，第二充分条件比较适用
局限性在于只能判定二阶可导的函数

（3）第三充分条件

注意：第三充分条件完全有可能作为证明题考查
利用泰勒联系高阶导数与函数解答（这里研究极值，属于局部形态，故用局部泰勒公式，即皮亚诺余项的泰勒公式）

s1、先找所有可能取得的极值点（即驻点，和导数不存在的点这两种）
s2、用充分条件做判定
对于导数不存在的点，只可用第一充分条件，通过两侧是否异号判定；
对于二阶导、n阶导都有的点，则可以考虑第二、三充分条件

4、函数的最值

（1）最值的理论问题

在证明唯一极值点就是最值点时，采用反证法：
若对于唯一极值点，若x0不是最值点，则说明存在极值x1，又因为函数连续，故会导致x0与x1之间至少又存在一个极值点，与唯一极值点矛盾。

（2）最值的应用问题

️‍ 2.2.3 曲线的凹向与拐点

1、曲线的凹凸性

一阶导数的正负反映函数的增减性
二阶导数的正负反映函数的凹凸性

二阶导为正，凹
二阶导为负，凸

2、曲线的拐点

拐点的一个必要三个充分，联系极值的一个必要三个充分

	极值	拐点
必要条件	一阶导为零	二阶导为零
第一充分	一阶为零，两侧一阶变号	二阶为零，两侧二阶变号
第二充分	一阶为零，二阶不为零	二阶为零，三阶不为零
第三充分	1~(n-1)阶均为零，n阶不为零 此时 不为零的n阶导数阶数为偶数，则是极值；否则非极值	2~(n-1)阶均为零，n阶不为零 此时 不为零的n阶导数阶数为奇数，则是拐点；否则非拐点

️‍ 2.2.4 曲线的渐近线

1、渐近线

共有三种渐近线

1	水平渐近线
2	垂直渐近线
3	斜渐近线

（1）水平渐近线
一条曲线的水平渐近线最多有两条

（2）垂直渐近线
（3）斜渐近线
一条曲线最多可由两条斜渐近线

注：

》在负无穷或正无穷的一侧，水平与斜最多只能存在一个
》三种渐近线，斜渐近线求解最复杂，但解法多样

2、斜渐近线的求解

两种思路：
① 传统的求解a和b
②
对于简单函数，即可写成线性函数，可通过线性函数加无穷小的方式解题；
对于复杂函数，即不可写成线性函数，一般方法是通过泰勒公式将函数写成多项式
即，一般用线性函数加无穷小的方式，不得已情况下再请泰勒出马。

️‍ 2.2.5 平面曲线的曲率

描述曲线在一点处的弯曲程度

1、曲率的定义

切线的拐角对弧长的变化率

2、曲率的计算

对于由参数方程形式给出的曲线，可通过参数方程求导，仍使用公式一

3、曲率圆与曲率半径

曲率圆的几何意义需要掌握，属于可考内容

️‍ 2.2.6 常考题型与典型例题

题型一、二属于基础题，简单
题型三、四属于综合题，较难
题型五最难
（考研数学难题一般出在高数部分，高数部分的难题一般是中值定理相关的证明题）

题型一 函数的单调性及极值

基本题型，不可丢分

【例】求函数单调区间、极值

{描述}：常规题
{补充}：本题注意偶函数这一有利条件

【例】隐函数求极值

{描述}：常规题，先求导数找驻点，再作判定
{补充}：对于驻点未完全解出，可代入原方程得解

【例】判极值

{描述}：常规题，利用第一充分条件判断
{补充}：保号性的条件是去心邻域，故不能得出0处的二阶导为正，实际上0处的二阶导为零

【例】

{描述}
{补充}：本题利用连续的条件

在（2）中，需要求解 $f^{\prime \prime }(1)$ 但又不能代入 $x=1$ ，故可以利用连续的条件，
将“0”因子除过去，此时不可直接代，可通过取极限，使计算得以进行

【例】

{补充}：函数二阶可导，在使用洛必达时，最多可出现一阶导

解法二：
因为极值是局部性态，可以用皮亚诺余项的泰勒公式

解法三：利用极限的保号性、极值的定义

题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率

基本题型，不可丢分
//对于斜渐近线

【例】

{描述}
{补充}：本题实际上隐含了三阶可导的条件

【例】参数方程求极值

{描述}：常规题，参数方程所确定的极值
{补充}：写区间时，注意到底是 t 还是 x

【例】求斜渐近线

{描述}：常规题，求斜渐近线
{补充}：注意求斜渐近线的特殊方法，转化为线性函数加无穷小

【例】求渐近线

{描述}
{补充}

【例】

{描述}
{补充}：利用偶函数特性简化答题


注意以下结论

题型三 方程根的存在性及个数

方程根的问题其实是两类问题：

第一类	存在性问题
第二类	个数问题

1、存在性问题
两类方法
（1）连续函数的零点定理
（2）罗尔定理
若零点定理不方便，常指两端点异号这个条件不好实现，则采用罗尔定理

2、个数问题
两类方法
（1）单调性
说明个数问题常用单调性
（2）罗尔定理的推论
如果单调性不好用，则用罗尔定理的推论

*3、两类问题的进阶常常含有参数
含有参数的方程根的问题，对于含有参数的方程根的问题在解答时常用一种特殊方法，就是将参数分离，常会使处理变得简单很多

综合题型

罗尔定理的推论可以直接使用
因为罗尔定理的推论是通过反证法，反复用罗尔定理推出，故称罗尔定理的推论

【罗尔定理推论的证明】

【例1】证明存在性

{描述}：
{补充}：

证明存在性首选零点定理，但本题找不到函数值想等的两个点；
故采用方法二，用罗尔定理，找原函数

【例2】

【例3】

题：略，待加

【例4】善用罗尔定理的推论

【例】由参数判根的个数

{补充}：注意题干的隐藏条件，x的定义域

最佳形式：导数为零的点与参数无关，即导数中无参数
故提取出参数再求导
》实际上更推荐令不含参数的部分为一个新的函数

【例】由根的个数判参数

注意分离参数的方法

【例】

【例⭐️】

{描述}：
{补充}：联立二阶导与函数的关系，结合整体（拉格朗日余项）泰勒公式；//拉格朗日中值定理

泰勒公式的系数，是由一点的各阶导数导数值表示，故对题干中信息最多的点使用

解法一的目标是证明存在一点小于0，那么不用泰勒是否也可？

解法二中直接证，比泰勒简单，但要会找到这个点

题型四 证明函数不等式

综合题型

证明不等式常有五种方法：

1	单调性
2	最大最小值
3	拉格朗日中值定理
4	泰勒公式
5	凹凸性

1、单调性
最常用的方法，通常将不等式移到一边，构造函数，再用单调性解答。

4、泰勒公式
证明不等式用的是整体泰勒公式，即带有拉格朗日余项的泰勒公式

5、凹凸性
因为凹凸性就是由不等式定义的，所以不等式的证明可用凹凸性

注：五大方法中，前三种最常用；前三种中，最常用的是单调性

【例】

{描述}：
{补充}：基本结论：常用不等式

【例2】

{补充}：本题中值定理不适用，因为不能保证中值的存在范围；故利用单调性解题
//此外，需要记住，构造的函数是为了服务于解题。构造的函数在定义域内的任意取值都可认为是在重新构造函数

【例3】

{描述}：取对数，构造同一函数不同取值下的大小比较问题

【例】

在这里插入图片描述

① 为什么想到用泰勒中值定理？
答：题干中，由二阶导数问题求证函数的大小比较问题，即高阶导数与函数之间的问题求解，首先想到的是泰勒中值定理；其次，研究区域为R，故用整体泰勒（拉格朗日余项）。
② 为什么想到在x=0处展开
答：展开的选择取决于哪一点函数导数值所知信息多。

解法二：

这里等号是如何证出的？？？
解法三：构造函数，利用单调性（最值）

解法四：利用凹凸性

【例】

在这里插入图片描述

---

题型五 微分中值定理有关的证明题

---

难题高频出题考点

总得来说，可以概括为三大问题

第一类	含有一阶导	构造辅助函数，利用罗尔定理
第二类	双中值类型	分离简单部分用拉格朗日
第三类	用带拉格朗日余项的泰勒公式

类型一、（变量、函数、一阶导）型

这里的一阶导不是指具体的一阶导函数，实际上是指为了找到其原函数而描述的一阶导，如例7

形式	其中，变量、函数存在与否不限定，但一阶导一定要存在
核心思想	构造辅助函数，用罗尔定理

其中，构造辅助函数有2+1种方法：

	分析还原法
	微分方程法
	利用总结的规律（熟练可首选）

【例】

本题适合通过分析还原法直接找出构造函数

【例】

本题分析还原法无法一眼看出，但需注意，使用分析还原法也有一定的思想

总结
（感觉没必要，直接推也很快）

【例】

【例】

{描述}：（1）中不含一阶导，说明不是微分中值定理证明题，而是连续函数零点定理
{补充}：

利用总结的规律，更快

【例】

{}
{补充}：所构造的辅助函数不是唯一的，取决于选择辅助函数的方法

第（1）问	解法一：分析构造法找辅助函数
	解法二：不借助辅助函数，利用拉格朗日中值定理求解
第（2）问	解法一：利用已知规律找辅助函数
	解法二：微分方程法找辅助函数
	解法三：不同的构造函数

第（1）问
解法一：用分析构造法找辅助函数

解法二：不借助辅助函数，直接利用拉格朗日中值定理

第（2）问
方法一：利用已知规律找出辅助函数

方法二：通过求微分方程确定辅助函数

注：对于二阶也可以用微分方程法找辅助函数
解法三：辅助函数不唯一

【例6】

{补充}：多想到使用罗尔定理的推论，简化解题

第（1）问	解法一：传统方式，反证法
	解法二：利用罗尔定理的推论
第（2）问	分析还原法找辅助函数

第（1）问
解法一：反证法

解法二：罗尔定理的推论

第（2）问：含有多个函数，只能用分析还原法

【例7】

{描述}：
{补充}：变上限积分求中值点，看似无导函数存在，实际含有

该类题型主要利用规律找到辅助函数从而使用罗尔定理，仍是含有“导数”

【例】

{描述}：具有一定的综合性，将微分中值定理同积分中值定理综合
{补充}：罗尔定理条件不足，需要获取条件

// 显然，由规律得辅助函数。
// 本题在找出辅助函数后，需要使用罗尔定理证得结论，但需要找到两函数值想等的条件。
这里由题干看出，通过借助积分中值定理可以获取到这个条件。

【例9⭐️】

{补充}：注意这里辅助函数构造的手法

注意：
推导过程中的 $F(x)$ 这个表达式在 $x=0$ 处是无定义的；
但可以人为构造出 $x=0$ 这一点有定义（此时实际上是更新了 $F(x)$）;
又因为构造出的 $F(x)$ 需要满足罗尔定理闭区间连续的条件，所以需要用连续性求得 $F(0)$

---

类型二、双中值问题

这是一般形式，即表达式中两个一阶导必须出现，其余的可以不出现。

对于双中值定理的问题，需要使用两次中值定理，主要分两类问题

		方法
case1	要求低 （双中值可以相同）	同区间两次中值定理（拉格朗日、柯西）
case2	要求高 （双中值不同）	分区间两次中值定理（难点在于分点的选取）

case1、要求低（不要求两中值不同）

【例】

按照汤老的说法，基于两个不同的中值将表达式分为复杂和简单部分，
简单部分一般是仅含有一阶导的部分，这部分通常可利用拉格朗日中值定理进行表达式的替换；
复杂的部分基于不同的情况使用不同的中值定理，对于本题，复杂部分为导函数之比的形式，则固定用柯西中值定理。

基于简单复杂部分分为两边

【例】

【例】

case2、要求高（要求两中值不同）

该类题型一般为中间点分割两区域，两区域分别用中值定理
// 难点考查为不给定分点，自己分析找出（注意例题中找出分点的思想方法）
逆推法 找分点

【例4】

本题为要求不同的两个中值，故不能在同一区间用中值定理，需用分点分开区间用拉格朗日
主要考查分点的选取
// 本题是早年真题，第一问中给出分点提示，但今后出题可能将不再给提示，那么如何找出分点，见下例

【例5】

利用逆推法求出中间点

类型三、n阶导数相关

// 高阶导数问题往往离不开泰勒
// 注意泰勒公式证明题中的另一种思想：多项式拟合

【例1】

① 建立高阶导与函数之间的关系用泰勒公式；
② 在已知信息多的点处使用泰勒公式；
③ x取合适的值，此处表示距离a、b位置相等的点，即a、b的中点。

【例2】

{补充}：在选择在哪一点使用泰勒中值定理时，一般选择已知信息多的点；
当条件所给的点的信息一样多，一般选择导数阶数高的点使用泰勒中值定理。

【例3】

{补充}：新的思想方法：多项式拟合
待证结果为几次，就证明几次多项式

多项式拟合，
构造一个多项式，要求和原来的函数有着相同的条件，构造的多项式的次数取决于待证结论中导数的阶数

【补充】泰勒公式证明题中的另一种思想：多项式拟合

待整理

* 补充题型 分段函数求导

连续函数求导直接使用求导公式。
一点处的导数值需要用导数定义来求导。

求分段函数在分段点处的导数时，一般使用定义法求；但是当函数在分段点处连续的时候，可有其他方法，如下

若
（1）$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续；
（2）$f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内可导；
（3）${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$ 存在。

则，$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)$

【例】