第二章____一元函数微分学

大纲中包含两章:
① 导数与微分
② 一元函数微分学的应用

第一节 导数与微分

️‍ 2.1.1 概念理论

导数与微分的概念和理论

(一)导数的概念

导数的概念是难点

【定理】
函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

》导数实质上是一个极限,函数量改变量与自变量改变量之比的极限;
这个极限反映了在这一点函数值相对于自变量的变化率;
》极限存在则称可导,极限不存在则称不可导
在这里插入图片描述
动点减定点才是变化率;
若均为动(定)点,则不是变化率

导数与左右导数之间的关系,实际上就是极限与左右极限之间的关系
第二章____一元函数微分学_第1张图片

【*补】
设函数可导,
① 若函数为奇函数,则导函数为偶函数;
② 若函数为偶函数,则导函数为奇函数;
③ 若函数为周期函数,则导函数为周期函数,且周期相同。

(二)微分的概念

》上面说到,
导数是函数改变量的变化率
微分是函数改变量的变化率的近似值

第二章____一元函数微分学_第2张图片
函数在一点的改变量是随自变量改变量变化的,即 f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) f(x_0+\triangle x)-f(x_0) f(x0+x)f(x0) 为自变量改变量的一个函数;
若函数的改变量可写成 A △ x + 0 ( △ x ) A\triangle x+0(\triangle x) Ax+0(x) ,此时称函数在该点处可微
其中,称 A △ x A\triangle x Ax 定义为函数在这一点处的微分;
》之所以这样定义,是因为 A △ x A\triangle x Ax 有两大特征:
A △ x A\triangle x Ax △ x \triangle x x 的线性函数
A △ x A\triangle x Ax △ y \triangle y y 的主要部分
》所以说微分是函数改变量的近似值
微分是函数改变量的线性主部
》用微分近似地表示函数的改变量;就是用线性函数来近似这样的一般函数
》线性函数代表均匀变化,所以用微分代替函数改变量,实际上就是用均匀变化代替非均匀变化
这是处理非均匀变化的一个核心思想
在一个微小的局部,把一个非均匀变化的量,用一个均匀变化的量来代替,而均匀变化的量可以用线性的方法解决

第二章____一元函数微分学_第3张图片
考卷中经常考导数的概念以及可导性的判定,而很少考可微性的判定;
因为一元函数中,可导与可微是等价的;
用导数定义判定可导性,比用可微定义判定可微性方便很多;
{该定理的意义}
① 解决了可微的判定问题;
② 解决了可微的计算问题
微分等于导数乘自变量的改变量

(三)导数与微分的几何意义

导数的几何意义:函数所对应的曲线在一点处切线的斜率
第二章____一元函数微分学_第4张图片
用微分来代替函数的改变量,
几何上就是用切线的改变量(均匀变化)来代替曲线的改变量(非均匀变化)
???
对于根号x在0处的切线的斜率怎么看?
是存在还是不存在?
导数肯定是不存在,但斜率存在不?
???

(四)连续、可导、可微之间的关系

不可将导数与微分混为一谈,只能说存在性相同

【例】

描述:
用洛必达法则求抽象函数的极限
第二章____一元函数微分学_第5张图片
本题也可用泰勒,因为是极限问题,故用局部泰勒

(五)补充

函数的左右导数,与导函数的左右极限无关,两者互相不可推之。

️‍ 2.1.2 基本运算

导数公式及求导法则

(一)求导公式

基本初等函数的导数公式
第二章____一元函数微分学_第6张图片
第二章____一元函数微分学_第7张图片

(二)求导法则

求导法有以下几种,
最核心的是前两种,解决了初等函数的求导问题

1 有理运算求导法则 ⭐️
2 复合函数求导法则 ⭐️
3 隐函数求导法则
4 反函数的求导
5 参数方程求导法
6 对数求导法

有理运算法则

第二章____一元函数微分学_第8张图片
由于乘除的运算法则比加减复杂,常采取化乘除为加减的方法,即对数求导法

复合函数求导法则

第二章____一元函数微分学_第9张图片

【例】

第二章____一元函数微分学_第10张图片

隐函数求导法则

在这里插入图片描述
两种方法:
① 两侧对x求导
② 用偏导数表示

反函数的求导

  若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在某区间内可导,且 f ′ ( x ) ≠ 0 f'(x)\neq 0 f(x)=0 ,则其反函数 x = ϕ ( y ) x=\phi(y) x=ϕ(y) 在对应区间内也可导,且
ϕ ( y ) = 1 f ′ ( x ) ; 即      d x d y = 1 d y d x \phi(y)=\frac{1}{f'(x)};即\;\; \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} ϕ(y)=f(x)1dydx=dxdy1

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【例】

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参数方程求导法

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对数求导法

一般遇到连乘或连除,可选择对数求导法











️‍ 2.1.3 高阶导数

(一)高阶导数的概念

n阶导数指(n-1)阶导函数的导数
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(二)常用的高阶导数公式

第二章____一元函数微分学_第15张图片

️‍ 【补充】

【f(x) 与 |f(x)| 可导性的关系】

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️‍ 2.1.4 常考题型与典型例题

强化班题型归类
在这里插入图片描述

题型一 导数与微分的概念

主要就是导数的概念问题
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(一)利用导数定义求极限

【例】

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第二章____一元函数微分学_第19张图片

【例】

在这里插入图片描述

【例】

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【例】

凑一点的导数定义形式第二章____一元函数微分学_第21张图片
解法二:
第二章____一元函数微分学_第22张图片


(二) 利用导数定义求导数

分段函数在分界点处求导一般都用导数定义

【例】(技巧题)

本题不局限于导数定义,
注意解法二中,令部分整体为函数的解题方法
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第二章____一元函数微分学_第24张图片

【例】(常规题)

描述:求分段点处的导数,常用导数定义
补充:一些补充的等价无穷小代换需要熟练掌握
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【例】(常规题)

描述:基础题,熟练做题思路
补充:无
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(三)利用导数定义判断函数可导性⭐️

既是重点也是难点
此处归纳该种题型有哪些出题方式,解题的一般方法是什么

【例】

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【例】

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左边推右边:是由导数存在推左(右)导数存在,可行
右边推左边:是由左(右)导数存在推导数存在,不可行
第二章____一元函数微分学_第29张图片第二章____一元函数微分学_第30张图片
第二章____一元函数微分学_第31张图片

【例】注意结论

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【例】【真】

结合上一题的结论
在这里插入图片描述

【真】

同样利用结论
总结已有题型,是为了后面做题能更快
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【例】函数可导性与绝对值可导性之间的关系

函数可导性与绝对值可导性之间的关系
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【题型总结:函数可导性与绝对值可导性之间的关系】
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【例】

第二章____一元函数微分学_第36张图片

【例】

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证明连续一阶导数,需要证两点
1、一阶导数存在
2、一阶导函数连续
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》二阶可导不能保证二阶导函数连续,甚至不能保证二阶导数有极限
》在洛必达不能继续进行时,往往可采用导数定义




题型二 导数的几何意义

常考平面曲线方程,常有三种
直角坐标系下、参数方程形式、极坐标下
曲线的切线、法线等

【例】

直角坐标系下,求切线方程
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【例】

参数方程形式下,求法线方程
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【例】

第二章____一元函数微分学_第42张图片

【例】

第二章____一元函数微分学_第43张图片




题型三 导数与微分的计算

一、复合函数求导

【例】(常规题)

》描述:常规的复合函数求导
》补充:结合了

  • 常见的奇偶函数
  • 奇(偶)函数的n阶导的奇偶性

在这里插入图片描述
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【例】

在这里插入图片描述
第二章____一元函数微分学_第45张图片

【例】

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第二章____一元函数微分学_第47张图片
第二章____一元函数微分学_第48张图片

【例】

描述:
补充:需注意使用定义法时,动点的两个条件
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二、隐函数求导

【例】

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【例】

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【例】

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三、参数方程求导

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【例】

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【例】

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四、反函数求导

考频不高,但不可忽视

【例】

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五、对数函数求导法

在这里插入图片描述

【例】

第二章____一元函数微分学_第58张图片
本题有两种方法(实际上算是一种)
方法一:对数求导法
方法二:改写成指数,再用复合函数求导法(实际上同方法一)

遇到连乘连除,求导不方便,可采用对数求导法

六、高阶导数

常用方法:(三种方法)
1、用已知公式
2、通过求前几阶的导数,归纳n阶导数
3、利用泰勒级数(公式)
第二章____一元函数微分学_第59张图片
其中,
方法一、二用作求n阶导函数
方法三,适用于具体点

【例】

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此类型可用公式,也可写成负指数幂的形式归纳推导

【例】
利用公式
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【例】

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本题为归纳法

【例】

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【例】

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解法一,使用导数的乘法公式
解法二,对于具体点,推荐使用泰勒级数(公式)
求哪个点,就写哪个点的泰勒级数(公式)
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第二节 导数应用

️‍ 2.2.1 微分中值定理

微分中值定理是基础;
是建立导数与函数的桥梁

此处共四个微分中值定理
(未包含积分中值定理)
第二章____一元函数微分学_第66张图片
第二章____一元函数微分学_第67张图片
前三个微分中值定理建立了一阶导数与函数之间的关系
而高阶导数与函数之间的关系由泰勒中值定理(带有拉格朗日余项的泰勒公式)来建立
第二章____一元函数微分学_第68张图片
泰勒有两个,
一个叫皮亚诺余项的泰勒公式,研究局部性态,又称局部泰勒公式 (极限部分已讲解);
一个叫拉格朗日余项的泰勒公式,研究整体性态,又称整体泰勒公式
通常将带有拉格朗日余项的泰勒公式也叫做泰勒中值定理

》理论上,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,即罗尔可证明的题,拉格朗日一定可证明(证明难度有区别)
同样,拉格朗日与柯西也是同样的关系
》罗尔定理虽然是拉格朗日以及柯西的特例,
但拉格朗日以及柯西都是构造辅助函数后,用罗尔定理证明所得,
注意体会罗尔定理的重要性
》中值定理中有一大堆题,都是构造辅助函数用罗尔定理证明(关键在于辅助函数的构造)
》四大中值定理之间的关系
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泰勒中值定理中,取n为零,则成拉格朗日中值定理(拉是泰勒的特例)

【有关局部与整体】

第二章____一元函数微分学_第70张图片

【局部泰勒公式与整体泰勒公式】
首先要区分局部泰勒公式与整体泰勒公式
带有佩亚诺余项的为局部泰勒公式;
带有拉格朗日余项的为整体泰勒公式
【局部性态与整体性态】
局部性态: 只和一点的临近有关,叫做局部性态,如:极限、极值
整体性态:和极值对应的最值,因为最值是在一个区间上,强调的是整个区间的性态,而非一点临近的性态;
以及不等式,不等式强调的也是区间,既然是区间,则一定是整体性态,用整体泰勒公式

️‍ 2.2.2 极值与最值

关于极值这里,注意一个必要条件和三个充分条件

1、极值的概念

注意,极值是一个局部性态
第二章____一元函数微分学_第71张图片

2、极值的必要条件

一阶导为零

当无可导的条件时,极值点与驻点无关
在可导的条件下,
极值点可推驻点,
驻点不可推极值点
言外之意:一个函数可导,则极值点只有可能在驻点上取
在不可导的地方,极值点只可能在导数不存在的点取到
第二章____一元函数微分学_第72张图片

3、极值的充分条件

极值共有三条充分条件

1 第一充分条件
2 第二充分条件
3 第三充分条件

(1)第一充分条件

第一充分条件:看驻点两侧一阶导数是否变号
变号,是极值;不变号,不是极值
第二章____一元函数微分学_第73张图片
当然,极值也可能存在于导数不存在的点,所以,若一点的一阶导数不存在,此时是否可用第一充分条件判定?
所以在第一充分条件里,附加了一个条件(函数在一点连续)
故此时,若一点处无导数,但在这一点处连续,仍然可以用第一充分条件判定
所以第一充分条件可以判定两种点:
1、驻点
2、导数不存在的点

(2)第二充分条件

第二充分条件加强了条件,这里是二阶可导
第二章____一元函数微分学_第74张图片

在函数的条件比较好,在有二阶导数且不为零的情况下,第二充分条件比较适用
局限性在于只能判定二阶可导的函数

(3)第三充分条件

第二章____一元函数微分学_第75张图片

注意:第三充分条件完全有可能作为证明题考查
利用泰勒联系高阶导数与函数解答(这里研究极值,属于局部形态,故用局部泰勒公式,即皮亚诺余项的泰勒公式)

s1、先找所有可能取得的极值点(即驻点,和导数不存在的点这两种)
s2、用充分条件做判定
对于导数不存在的点,只可用第一充分条件,通过两侧是否异号判定;
对于二阶导、n阶导都有的点,则可以考虑第二、三充分条件

第二章____一元函数微分学_第76张图片

4、函数的最值

(1)最值的理论问题

第二章____一元函数微分学_第77张图片
在证明唯一极值点就是最值点时,采用反证法:
若对于唯一极值点,若x0不是最值点,则说明存在极值x1,又因为函数连续,故会导致x0与x1之间至少又存在一个极值点,与唯一极值点矛盾。

(2)最值的应用问题

第二章____一元函数微分学_第78张图片

️‍ 2.2.3 曲线的凹向与拐点

1、曲线的凹凸性

一阶导数的正负反映函数的增减性
二阶导数的正负反映函数的凹凸性

第二章____一元函数微分学_第79张图片
二阶导为正,凹
二阶导为负,凸

2、曲线的拐点

第二章____一元函数微分学_第80张图片
拐点的一个必要三个充分,联系极值的一个必要三个充分

极值 拐点
必要条件 一阶导为零 二阶导为零
第一充分 一阶为零,两侧一阶变号 二阶为零,两侧二阶变号
第二充分 一阶为零,二阶不为零 二阶为零,三阶不为零
第三充分 1~(n-1)阶均为零,n阶不为零
此时
不为零的n阶导数阶数为偶数,则是极值;否则非极值
2~(n-1)阶均为零,n阶不为零
此时
不为零的n阶导数阶数为奇数,则是拐点;否则非拐点

️‍ 2.2.4 曲线的渐近线

1、渐近线

共有三种渐近线

1 水平渐近线
2 垂直渐近线
3 斜渐近线

(1)水平渐近线
一条曲线的水平渐近线最多有两条

(2)垂直渐近线
(3)斜渐近线
一条曲线最多可由两条斜渐近线

第二章____一元函数微分学_第81张图片

注:

》在负无穷或正无穷的一侧,水平与斜最多只能存在一个
》三种渐近线,斜渐近线求解最复杂,但解法多样


2、斜渐近线的求解

两种思路:
① 传统的求解a和b
第二章____一元函数微分学_第82张图片
对于简单函数,即可写成线性函数,可通过线性函数加无穷小的方式解题;
对于复杂函数,即不可写成线性函数,一般方法是通过泰勒公式将函数写成多项式
即,一般用线性函数加无穷小的方式,不得已情况下再请泰勒出马。

️‍ 2.2.5 平面曲线的曲率

描述曲线在一点处的弯曲程度

1、曲率的定义

切线的拐角对弧长的变化率
在这里插入图片描述

2、曲率的计算

对于由参数方程形式给出的曲线,可通过参数方程求导,仍使用公式一
第二章____一元函数微分学_第83张图片

3、曲率圆与曲率半径

曲率圆的几何意义需要掌握,属于可考内容

第二章____一元函数微分学_第84张图片

在这里插入图片描述

️‍ 2.2.6 常考题型与典型例题

题型一、二属于基础题,简单
题型三、四属于综合题,较难
题型五最难
(考研数学难题一般出在高数部分,高数部分的难题一般是中值定理相关的证明题)

题型一 函数的单调性及极值

基本题型,不可丢分

【例】求函数单调区间、极值

{描述}:常规题
{补充}:本题注意偶函数这一有利条件
第二章____一元函数微分学_第85张图片

【例】隐函数求极值

{描述}:常规题,先求导数找驻点,再作判定
{补充}:对于驻点未完全解出,可代入原方程得解
第二章____一元函数微分学_第86张图片

【例】判极值

{描述}:常规题,利用第一充分条件判断
{补充}:保号性的条件是去心邻域,故不能得出0处的二阶导为正,实际上0处的二阶导为零
第二章____一元函数微分学_第87张图片
第二章____一元函数微分学_第88张图片

【例】

{描述}
{补充}:本题利用连续的条件
第二章____一元函数微分学_第89张图片
在(2)中,需要求解 f ′ ′ ( 1 ) f''(1) f(1) 但又不能代入 x = 1 x=1 x=1 ,故可以利用连续的条件,
将“0”因子除过去,此时不可直接代,可通过取极限,使计算得以进行

【例】

{补充}:函数二阶可导,在使用洛必达时,最多可出现一阶导
第二章____一元函数微分学_第90张图片
解法二:
因为极值是局部性态,可以用皮亚诺余项的泰勒公式
第二章____一元函数微分学_第91张图片
解法三:利用极限的保号性、极值的定义
第二章____一元函数微分学_第92张图片

题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率

基本题型,不可丢分
//对于斜渐近线

【例】

{描述}
{补充}:本题实际上隐含了三阶可导的条件
第二章____一元函数微分学_第93张图片

【例】参数方程求极值

{描述}:常规题,参数方程所确定的极值
{补充}:写区间时,注意到底是 t 还是 x
第二章____一元函数微分学_第94张图片
在这里插入图片描述

【例】求斜渐近线

{描述}:常规题,求斜渐近线
{补充}:注意求斜渐近线的特殊方法,转化为线性函数加无穷小
第二章____一元函数微分学_第95张图片第二章____一元函数微分学_第96张图片

【例】求渐近线

{描述}
{补充}
第二章____一元函数微分学_第97张图片

【例】

{描述}
{补充}:利用偶函数特性简化答题
第二章____一元函数微分学_第98张图片
第二章____一元函数微分学_第99张图片
注意以下结论
在这里插入图片描述




题型三 方程根的存在性及个数

方程根的问题其实是两类问题:

第一类 存在性问题
第二类 个数问题

1、存在性问题
两类方法
(1)连续函数的零点定理
(2)罗尔定理
若零点定理不方便,常指两端点异号这个条件不好实现,则采用罗尔定理

2、个数问题
两类方法
(1)单调性
说明个数问题常用单调性
(2)罗尔定理的推论
如果单调性不好用,则用罗尔定理的推论

*3、两类问题的进阶常常含有参数
含有参数的方程根的问题,对于含有参数的方程根的问题在解答时常用一种特殊方法,就是将参数分离,常会使处理变得简单很多

综合题型

第二章____一元函数微分学_第100张图片
罗尔定理的推论可以直接使用
因为罗尔定理的推论是通过反证法,反复用罗尔定理推出,故称罗尔定理的推论

【罗尔定理推论的证明】

第二章____一元函数微分学_第101张图片

【例1】证明存在性

{描述}:
{补充}:
第二章____一元函数微分学_第102张图片
证明存在性首选零点定理,但本题找不到函数值想等的两个点;
故采用方法二,用罗尔定理,找原函数

【例2】

第二章____一元函数微分学_第103张图片

【例3】

题:略,待加
第二章____一元函数微分学_第104张图片

【例4】善用罗尔定理的推论

第二章____一元函数微分学_第105张图片

【例】由参数判根的个数

{补充}:注意题干的隐藏条件,x的定义域
第二章____一元函数微分学_第106张图片
最佳形式:导数为零的点与参数无关,即导数中无参数
故提取出参数再求导
》实际上更推荐令不含参数的部分为一个新的函数

【例】由根的个数判参数

第二章____一元函数微分学_第107张图片
注意分离参数的方法

【例】

第二章____一元函数微分学_第108张图片

【例⭐️】

{描述}:
{补充}:联立二阶导与函数的关系,结合整体(拉格朗日余项)泰勒公式;//拉格朗日中值定理
第二章____一元函数微分学_第109张图片
第二章____一元函数微分学_第110张图片

泰勒公式的系数,是由一点的各阶导数导数值表示,故对题干中信息最多的点使用

解法一的目标是证明存在一点小于0,那么不用泰勒是否也可?

解法二中直接证,比泰勒简单,但要会找到这个点
在这里插入图片描述
第二章____一元函数微分学_第111张图片


题型四 证明函数不等式

综合题型

证明不等式常有五种方法:

1 单调性
2 最大最小值
3 拉格朗日中值定理
4 泰勒公式
5 凹凸性

1、单调性
最常用的方法,通常将不等式移到一边,构造函数,再用单调性解答。

4、泰勒公式
证明不等式用的是整体泰勒公式,即带有拉格朗日余项的泰勒公式

5、凹凸性
因为凹凸性就是由不等式定义的,所以不等式的证明可用凹凸性

注:五大方法中,前三种最常用;前三种中,最常用的是单调性

【例】

{描述}:
{补充}:基本结论:常用不等式
第二章____一元函数微分学_第112张图片

【例2】

{补充}:本题中值定理不适用,因为不能保证中值的存在范围;故利用单调性解题
//此外,需要记住,构造的函数是为了服务于解题。构造的函数在定义域内的任意取值都可认为是在重新构造函数
第二章____一元函数微分学_第113张图片
第二章____一元函数微分学_第114张图片

【例3】

{描述}:取对数,构造同一函数不同取值下的大小比较问题

第二章____一元函数微分学_第115张图片

【例】

第二章____一元函数微分学_第116张图片在这里插入图片描述

第二章____一元函数微分学_第117张图片

① 为什么想到用泰勒中值定理?
答:题干中,由二阶导数问题求证函数的大小比较问题,即高阶导数与函数之间的问题求解,首先想到的是泰勒中值定理;其次,研究区域为R,故用整体泰勒(拉格朗日余项)。
② 为什么想到在x=0处展开
答:展开的选择取决于哪一点函数导数值所知信息多。

解法二:
第二章____一元函数微分学_第118张图片
这里等号是如何证出的???
解法三:构造函数,利用单调性(最值)
第二章____一元函数微分学_第119张图片
解法四:利用凹凸性

【例】

在这里插入图片描述



题型五 微分中值定理有关的证明题


难题高频出题考点

总得来说,可以概括为三大问题

第一类 含有一阶导 构造辅助函数,利用罗尔定理
第二类 双中值类型 分离简单部分用拉格朗日
第三类 用带拉格朗日余项的泰勒公式

类型一、(变量、函数、一阶导)型

这里的一阶导不是指具体的一阶导函数,实际上是指为了找到其原函数而描述的一阶导,如例7

形式 其中,变量、函数存在与否不限定,但一阶导一定要存在
核心思想 构造辅助函数,用罗尔定理

其中,构造辅助函数有2+1种方法:

分析还原法
微分方程法
利用总结的规律(熟练可首选)

第二章____一元函数微分学_第120张图片
第二章____一元函数微分学_第121张图片

【例】

第二章____一元函数微分学_第122张图片
第二章____一元函数微分学_第123张图片
本题适合通过分析还原法直接找出构造函数

【例】

第二章____一元函数微分学_第124张图片

本题分析还原法无法一眼看出,但需注意,使用分析还原法也有一定的思想第二章____一元函数微分学_第125张图片

总结
(感觉没必要,直接推也很快)
第二章____一元函数微分学_第126张图片

【例】

第二章____一元函数微分学_第127张图片

【例】

{描述}:(1)中不含一阶导,说明不是微分中值定理证明题,而是连续函数零点定理
{补充}:
第二章____一元函数微分学_第128张图片
利用总结的规律,更快

【例】

{}
{补充}:所构造的辅助函数不是唯一的,取决于选择辅助函数的方法
第二章____一元函数微分学_第129张图片

第(1)问 解法一:分析构造法找辅助函数
解法二:不借助辅助函数,利用拉格朗日中值定理求解
第(2)问 解法一:利用已知规律找辅助函数
解法二:微分方程法找辅助函数
解法三:不同的构造函数

第(1)问
解法一:用分析构造法找辅助函数
第二章____一元函数微分学_第130张图片

解法二:不借助辅助函数,直接利用拉格朗日中值定理
第二章____一元函数微分学_第131张图片
第(2)问
方法一:利用已知规律找出辅助函数
第二章____一元函数微分学_第132张图片

方法二:通过求微分方程确定辅助函数
第二章____一元函数微分学_第133张图片
注:对于二阶也可以用微分方程法找辅助函数
解法三:辅助函数不唯一
第二章____一元函数微分学_第134张图片

【例6】

{补充}:多想到使用罗尔定理的推论,简化解题
第二章____一元函数微分学_第135张图片

第(1)问 解法一:传统方式,反证法
解法二:利用罗尔定理的推论
第(2)问 分析还原法找辅助函数

第(1)问
解法一:反证法
第二章____一元函数微分学_第136张图片
解法二:罗尔定理的推论
第二章____一元函数微分学_第137张图片
第(2)问:含有多个函数,只能用分析还原法
第二章____一元函数微分学_第138张图片

【例7】

{描述}:
{补充}:变上限积分求中值点,看似无导函数存在,实际含有
第二章____一元函数微分学_第139张图片
该类题型主要利用规律找到辅助函数从而使用罗尔定理,仍是含有“导数”

【例】

{描述}:具有一定的综合性,将微分中值定理同积分中值定理综合
{补充}:罗尔定理条件不足,需要获取条件
第二章____一元函数微分学_第140张图片
// 显然,由规律得辅助函数。
// 本题在找出辅助函数后,需要使用罗尔定理证得结论,但需要找到两函数值想等的条件。
这里由题干看出,通过借助积分中值定理可以获取到这个条件。

【例9⭐️】

{补充}:注意这里辅助函数构造的手法
第二章____一元函数微分学_第141张图片
注意:
推导过程中的 F ( x ) F(x) F(x) 这个表达式在 x = 0 x=0 x=0 处是无定义的;
但可以人为构造出 x = 0 x=0 x=0 这一点有定义(此时实际上是更新了 F ( x ) F(x) F(x));
又因为构造出的 F ( x ) F(x) F(x) 需要满足罗尔定理闭区间连续的条件,所以需要用连续性求得 F ( 0 ) F(0) F(0)


类型二、双中值问题

在这里插入图片描述
这是一般形式,即表达式中两个一阶导必须出现,其余的可以不出现。

对于双中值定理的问题,需要使用两次中值定理,主要分两类问题

方法
case1 要求低 (双中值可以相同) 同区间两次中值定理(拉格朗日、柯西)
case2 要求高 (双中值不同) 分区间两次中值定理(难点在于分点的选取)
case1、要求低(不要求两中值不同)
【例】

第二章____一元函数微分学_第142张图片
按照汤老的说法,基于两个不同的中值将表达式分为复杂和简单部分,
简单部分一般是仅含有一阶导的部分,这部分通常可利用拉格朗日中值定理进行表达式的替换;
复杂的部分基于不同的情况使用不同的中值定理,对于本题,复杂部分为导函数之比的形式,则固定用柯西中值定理。
第二章____一元函数微分学_第143张图片
基于简单复杂部分分为两边

【例】

第二章____一元函数微分学_第144张图片
第二章____一元函数微分学_第145张图片

【例】

第二章____一元函数微分学_第146张图片

case2、要求高(要求两中值不同)

该类题型一般为中间点分割两区域,两区域分别用中值定理
// 难点考查为不给定分点,自己分析找出(注意例题中找出分点的思想方法)
逆推法 找分点

【例4】

第二章____一元函数微分学_第147张图片
本题为要求不同的两个中值,故不能在同一区间用中值定理,需用分点分开区间用拉格朗日
主要考查分点的选取
// 本题是早年真题,第一问中给出分点提示,但今后出题可能将不再给提示,那么如何找出分点,见下例
第二章____一元函数微分学_第148张图片

【例5】

利用逆推法求出中间点

第二章____一元函数微分学_第149张图片
第二章____一元函数微分学_第150张图片

类型三、n阶导数相关

// 高阶导数问题往往离不开泰勒
// 注意泰勒公式证明题中的另一种思想:多项式拟合

第二章____一元函数微分学_第151张图片

【例1】

第二章____一元函数微分学_第152张图片
① 建立高阶导与函数之间的关系用泰勒公式;
② 在已知信息多的点处使用泰勒公式;
③ x取合适的值,此处表示距离a、b位置相等的点,即a、b的中点。

【例2】

{补充}:在选择在哪一点使用泰勒中值定理时,一般选择已知信息多的点;
当条件所给的点的信息一样多,一般选择导数阶数高的点使用泰勒中值定理。
第二章____一元函数微分学_第153张图片

【例3】

{补充}:新的思想方法:多项式拟合
待证结果为几次,就证明几次多项式
第二章____一元函数微分学_第154张图片
多项式拟合,
构造一个多项式,要求和原来的函数有着相同的条件,构造的多项式的次数取决于待证结论中导数的阶数

【补充】泰勒公式证明题中的另一种思想:多项式拟合

待整理











* 补充题型 分段函数求导

连续函数求导直接使用求导公式。
一点处的导数值需要用导数定义来求导。

求分段函数在分段点处的导数时,一般使用定义法求;但是当函数在分段点处连续的时候,可有其他方法,如下


(1) f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 处连续;
(2) f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 的某空心邻域内可导;
(3) lim ⁡ x → x 0 f ′ ( x ) \lim_{x\to x_0}{f'(x)} limxx0f(x) 存在。

则, f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ′ ( x ) f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{f'(x)} f(x0)=limxx0f(x)

【例】

第二章____一元函数微分学_第155张图片

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