【高等数学】区间再现公式及其相关推论

目录

    • 区间再现公式
      • 1.基本形式
      • 2.三角相关的推论
        • 推论1
        • 推论2
      • 3.拓展模型
        • 模型1
        • 模型2
        • 模型3
      • 4.对称区间积分公式

区间再现公式

1.基本形式

  • 区间再现公式的基本形式是:

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx abf(x)dx=abf(a+bx)dx

证明采用换元法即可,略。

[例1] 求: ∫ 0 1 x ( 1 − x ) 3 d x \int_0^1x(1-x)^3dx 01x(1x)3dx

解:
∫ 0 1 x ( 1 − x ) 3 d x   ⟹ 区间再现 ∫ 0 1 x 3 ( 1 − x ) d x = 1 20 \int_0^1x(1-x)^3dx\ \stackrel{区间再现}{\Longrightarrow}\int_0^1x^3(1-x)dx=\frac 1 {20} 01x(1x)3dx 区间再现01x3(1x)dx=201

2.三角相关的推论

推论1

∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int_0^{\frac \pi 2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac \pi 2}f(\cos x)dx 02πf(sinx)dx=02πf(cosx)dx

  • 证明直接采用区间再现即可。

[例2] 求: ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 x d x \int_0^{\frac \pi 2}\sin^2xdx 02πsin2xdx

解:
∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 d x = π 4 \int_0^{\frac \pi 2}\sin^2xdx=\int_0^{\frac \pi 2}\cos^2xdx=\frac 1 2\int_0^{\frac \pi 2}dx=\frac \pi 4 02πsin2xdx=02πcos2xdx=2102πdx=4π

推论2

∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac \pi 2\int_0^\pi f(\sin x)dx 0πxf(sinx)dx=2π0πf(sinx)dx

  • 证明直接采用区间再现即可。

[例3] 求: ∫ 0 π x sin ⁡ 2 x d x \int _0^\pi x\sin ^2xdx 0πxsin2xdx

解:
∫ 0 π x sin ⁡ 2 x d x = π 2 ∫ 0 π sin ⁡ 2 x d x = π ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 x d x = π 2 4 \int _0^\pi x\sin ^2xdx=\frac \pi 2\int_0^\pi \sin^2xdx=\pi\int_0^{\frac \pi 2}\sin^2xdx=\frac{\pi^2}{4} 0πxsin2xdx=2π0πsin2xdx=π02πsin2xdx=4π2

3.拓展模型

证明均采用区间再现,略。

模型1

∫ 0 T x f ( x ) d x = T 2 ∫ 0 T f ( x ) d x ,其中 f ( x ) = f ( 2 T − x ) \int_0^Txf(x)dx=\frac{T}{2}\int_0^Tf(x)dx,其中f(x)=f(2T-x) 0Txf(x)dx=2T0Tf(x)dx,其中f(x)=f(2Tx)

[例4] 求: ∫ 0 n π x ∣ sin ⁡ x ∣ d x \int _0^{n\pi}x|\sin x|dx 0xsinxdx

解:考虑到, ∣ sin ⁡ x ∣ = ∣ sin ⁡ ( n π − x ) ∣ |\sin x|=|\sin(n\pi-x)| sinx=sin(x)

于是:
∫ 0 n π x ∣ sin ⁡ x ∣ d x = n π 2 ∫ 0 n π ∣ sin ⁡ x ∣ d x = n 2 π 2 ∫ 0 π sin ⁡ x d x = n 2 π \int _0^{n\pi}x|\sin x|dx=\frac{n\pi}{2}\int_0^{n\pi}|\sin x|dx=\frac{n^2\pi}{2}\int_0^{\pi}\sin xdx=n^2\pi 0xsinxdx=20sinxdx=2n2π0πsinxdx=n2π

模型2

∫ a b f ( x ) f ( x ) + f ( a + b − x ) d x = b − a 2 \int_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx=\frac{b-a}{2} abf(x)+f(a+bx)f(x)dx=2ba

[例5] 求: ∫ 2 4 x x + 6 − x d x \int _2^4\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt{6-x}}dx 24x +6x x dx

解:
∫ 2 4 x x + 6 − x d x = 4 − 2 2 = 1 \int _2^4\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt{6-x}}dx=\frac{4-2}{2}=1 24x +6x x dx=242=1

模型3

∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) f ( sin ⁡ x ) + f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) f ( sin ⁡ x ) + f ( cos ⁡ x ) d x = π 4 \int_0^{\frac \pi 2}\frac{f(\sin x)}{f(\sin x)+f(\cos x)}dx=\int_0^{\frac \pi 2}\frac{f(\cos x)}{f(\sin x)+f(\cos x)}dx=\frac{\pi}{4} 02πf(sinx)+f(cosx)f(sinx)dx=02πf(sinx)+f(cosx)f(cosx)dx=4π

[例6]:求:
∫ 0 π 2 e sin ⁡ x e sin ⁡ x + e cos ⁡ x d x \int_0^{\frac \pi 2} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x}+e^{\cos x}}dx 02πesinx+ecosxesinxdx
解:
∫ 0 π 2 e sin ⁡ x e sin ⁡ x + e cos ⁡ x d x = π 4 \int_0^{\frac \pi 2} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x}+e^{\cos x}}dx=\frac{\pi}{4} 02πesinx+ecosxesinxdx=4π

4.对称区间积分公式

f ( x ) f(x) f(x) [ − a , a ] [-a,a] [a,a]连续,则:
∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x \int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx aaf(x)dx=0a[f(x)+f(x)]dx
[例7]:求:
∫ − π 2 π 2 sin ⁡ 2 x 1 + e x d x \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac \pi 2}\frac{\sin^2 x}{1+e^{x}}dx 2π2π1+exsin2xdx
解:
∫ − π 2 π 2 sin ⁡ 2 x 1 + e x d x = ∫ 0 π 2 ( sin ⁡ 2 x 1 + e x + sin ⁡ 2 x 1 + e − x ) d x = ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 x d x = π 4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac \pi 2}\frac{\sin^2 x}{1+e^{x}}dx=\int_{0}^{\frac \pi 2}(\frac{\sin^2 x}{1+e^{x}}+\frac{\sin^2 x}{1+e^{-x}})dx=\int_0^{\frac \pi 2}\sin^2xdx=\frac{\pi}{4} 2π2π1+exsin2xdx=02π(1+exsin2x+1+exsin2x)dx=02πsin2xdx=4π

你可能感兴趣的:(高等数学,抽象代数)