二叉查找树之一：二叉查找树

二叉查找树

二叉查找树（BST）的特性：

• 1.左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
• 2.右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
• 3.左、右子树也分别为二叉排序树。

下图中这棵树，就是一颗典型的二叉查找树：

二叉查找树的查找操作

这样的数据结构，在查找时使用二分查找的思想，查找所需的最大次数等同于二叉查找树的高度。

比如，当我们想在上图查找值为10的结点时：
1.查看根结点9：
2.根据二叉查找树左子树小、右子树大的特性，10 > 9，因此值为10的结点只可能在根结点的右子树当中，我们查看右孩子结点13：
3.由于10 < 13，因此查看左孩子11：
4.由于10 < 11，因此查看左孩子10，发现10正是要查找的结点：

不仅查找，在插入新结点时也运用了同样的思路，通过一层一层比较大小，找到新结点适合插入的位置。

二叉查找树插入操作

递归查询插入。

二叉查找树删除操作

二叉查找树的删除操作可以分成三种情况。

情况1，待删除的结点没有子结点：

上图中，待删除的结点12是叶子结点，没有孩子，因此直接删除即可：

情况2，待删除的结点有一个孩子：

上图中，待删除的结点13只有左孩子，于是我们让左孩子结点11取代被删除的结点，结点11以下的结点关系无需变动：

情况3，待删除的结点有两个孩子：

上图中，待删除的结点5有两个孩子，这种情况比较复杂。此时，我们需要选择与待删除结点最接近的结点来取代它。

上面的例子中，结点3仅小于结点5，结点6仅大于结点5，两者都是合适的选择。但习惯上我们选择仅大于待删除结点的结点，也就是结点6来取代它。

于是我们复制结点6到原来结点5的位置：

被选中的结点6，仅大于结点5，因此一定没有左孩子。所以我们按照情况1或情况2的方式，删除多余的结点6:

二叉查找树的缺陷

但是，二叉查找同样树存在缺陷：在插入、删除的过程中不能保证二叉树始终平衡。

比如：

假设初始的二叉查找树只有三个结点，根结点值为9，左孩子值为8，右孩子值为12：

接下来我们依次插入如下五个结点：7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性，结果会变成什么样呢？

此时的二叉树虽然也符合二叉查找树的特性，但是查找的性能大打折扣，几乎变成了线性。

为了解决这个缺陷，提出了自平衡二叉查找树

两种平衡二叉查找树

自平衡二叉查找树，顾名思义，是在插入和删除的过程中自动保持平衡的二叉查找树。

AVL树：是严格平衡的二叉树，要求每个结点的左右子树高度差不超过1
红黑树：任何一条路径上的长度不超过其他路径长度的2倍
红黑树：

二者相比，AVL树的查找效率更高，但平衡调整的成本也更高。

在需要频繁查找时，选用AVL树更合适；
在需要频繁插入删除时，选用红黑树更合适。