最短路径算法----Dijkstra

最近上图论，学了单源最短路径的Dijkstra算法。

Dijkstra算法的核心思想是贪心策略+动态规划。

老师只字不提思想，硬分析过程还是有点@#$%的。

结果就是，原先我还挺懂的，听完就凌乱了。

 

在这里写一下吧

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参考资料:

Wikipedia：http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm

Nocow：http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95

CLRS

《算法设计与分析》

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算法流程：

在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dis[]

初始化：源的距离dis[s]设为0，其他的点距离设为无穷大(实际程序里设成-1了)，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。

循环n-1次：

1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
2. 对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dis[u]+map[u,v]<dis[v]，那么把dis[v]更新成更短的距离dis[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
3. 结束。此时对于任意的u，dis[u]就是s到u的距离。

wiki上有个很好的图，可以帮助理解算法过程：

测试数据来自清华的紫皮算法书，如下：

迭代过程如下：

迭代	S	U	dis[2]	dis[3]	dis[4]	dis[5]
初始	{1}	---	10	-1	30	100
1	{1,2}	2	10	60	30	100
2	{1,2,4}	4	10	50	30	90
3	{1,2,4,3}	3	10	50	30	60
4	{1,2,4,3,5}	5	10	50	30	60

看上面的两个图，基本就能把Dijkstra算法的具体过程了解清楚。

算法正确性证明可以看Wiki和CLRS。

程序如下（测试数据就是上面的，输出了6个结果）：

int dijk(int s, int e);函数返回从s到e的最短路。

 1 #include <stdio.h>

 2 #include <limits.h>

 3 #include <string.h>

 4 

 5 const int n = 6;

 6 int map[n][n];

 7 

 8 int dijk(int s, int e)

 9 {

10     int dis[n];

11     int used[n] = {0};

12     int min, next;

13     memset(dis, 255, sizeof(dis));//把所有未更新的dis[]设置成-1

14 

15     dis[s] = 0;                    //从s开始

16 

17     for (int i=1; i<n; ++i)

18     {

19         min = INT_MAX;

20         for (int j=1; j<n; ++j)

21         {

22             if (!used[j] && dis[j]!=-1 && dis[j]<min)

23             {

24                 min = dis[j];

25                 next = j;

26             }

27         }

28         if (min != INT_MAX)

29         {

30             used[next] = 1;

31             for (int j=1; j<n; ++j)

32             {

33                 if (!used[j] && map[next][j]!=-1 &&

34                         (dis[j]>map[next][j]+dis[next] || dis[j]==-1))

35                 {

36                     dis[j] = map[next][j] + dis[next];

37                 }

38             }

39         }

40     }

41     return dis[e];

42 }

43 

44 

45 int main()

46 {

47     for (int i=1; i<n; ++i)

48     {

49         for (int j=1; j<n; ++j)

50         {

51             map[i][j] = -1;

52         }

53     }

54 

55     map[1][2] = 10;

56     map[1][4] = 30;

57     map[1][5] = 100;

58     map[2][3] = 50;

59     map[3][5] = 10;

60     map[4][3] = 20;

61     map[4][5] = 60;

62 　　

63     printf("%d %d %d %d %d %d\n", dijk(1, 5), dijk(2, 3), dijk(1, 5), dijk(4, 5), dijk(1, 2), dijk(2, 4));

64 

65 

66     return 0;

67 }