第三讲：子空间

第三讲：子空间

一、子空间定义

1.子空间：设V是数域F上的线性空间，W是V的子集，若对W中的任意元素α、β，及数K∈F，按V中的加法和数乘有：
1）α+β∈W
2）Kα∈W
则W也是数域F上的线性空间，称W为V的线性子空间

注：1）由单个零元素组成的子集{0}是线性子空间
2 ) 线性空间V是线性子空间
3）{0}与V被称为V的平凡子空间 dim{0} = 0

二、常见子空间

1.设A是一给定的m*n实矩阵，记N(A) {x∈Rn |Ax = 0} ，R(A) {Ax |x∈Rm}。
则：N(A)是Rn 的子空间，称为A的零空间
R(A) 是Rm 的子空间，称为A的列空间
dimN(A) = n - rank（A） = n - r
dimR(A) = r
2.设{α1 ，α 2，…,αr}是线性空间V的一向量组，记span{α1 ，α 2，…,αr} = { }，则称span{α1 ，α 2，…,αr}是V的子空间，称为由{α1 ，α 2，…,αr}张成的子空间。
1）span{α1 ，α 2，…,αr}中的任意一向量αi，都可以写成{α1 ，α 2，…,αr}的线性组合
2）解决了抽象线性空间的描述：找子空间的一个基（子空间中任何向量可以被基线性表示）
注：1）零空间：找AX = 0 的基础解系
2）列空间： 找系数矩阵的极大线性无关组

三、基扩张定理

设{α1 ，α 2，…,αr}是Vn中一组线性无关向量，则存在Vn中n-r个向量αr+1，αr+2，…,αn使得{α1 ，α 2，…,αr，αr+1，αr+2，…,αn}构成Vn的基

四、和空间和交空间

1.定义：设W1与W2是线性空间V的两个子空间，令
1）
2）

则 为W1与W2的交空间
为W1与W2的和空间
注：设W1=span{α1 ，α 2，…,αr}，W2=span{β1 ，β 2，…,βm}，则有
W1+W2 = span{α1 ，α 2，…,αr，β1 ，β 2，…,βm}
2.维数公式
设W1与W2是线性空间V的两个子空间，则有：
dim（W1+W2）+ dim（ ） = dim（W1）+dim（W2）
1）和空间W1+W2中的向量一定可以分解成两个向量之和，其中一个向量属于W1另一个属于W2，且分解不唯一

五、直和

1.定义：设W1+W2中任一向量只能唯一地分解为W1中的一个向量与W2中的一个向量之和，则称W1+W2为W1与W2的直和，记为W1 W2
1）
2）

则 为W1与W2的交空间
为W1与W2的和空间
2.直和条件
1）W1+W2 = W1 W2
2） = {0}
3）dim（W1+W2）= dim（W1）+dim（W2）
4） 0 = α1 +α 2，α1 ∈W1，α 2∈W2，则有α1 = 0，α 2=0