矩阵分析学习（四）
矩阵的标准型
1、矩阵的相似对角型
定义1：设A和B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P使得B=P^-1AP成立，则称A相似于B（B相似于A）
性质：相似具有自反性、对称性和传递性；
1）A与B相似，则其具有相同的特征多项式和特征值；
2）A与B相似，则其具有相同的秩与行列式；（R（A）=R（B），|A|=|B|）
3）A与B相似，则其具有相同的迹（对角元素之和）；（tr（A）=tr（B））
4）设y=f(x)为多项式，则f(A)与f(B)相似；
定义2：设A为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得：
成立，则称矩阵A可相似对角化，P称为相似变换矩阵。
定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是，矩阵A 有n个线性无关的特征向量（相似变换矩阵P的列向量即为特征向量）。
推论：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可相似对角化；
定义3：设λ0是n阶方阵A的特征值，记E={x属于C^n|Ax=λ0x}，则称E为A关于λ0的特征子空间，dimE为λ0的几何重数（几何重数即为上述关系式中基础解系的个数n-R（A））。
定义4：代数重数即为所求出的特征多项式中的对应次数；
定理2：对于任意的n阶方阵A其几何重数小于等于代数重数 ；（当相等时可相似对角化）
2、求相似对角化的方法：
1、求解n阶方阵A的特征值；（一般会有k重根）
2、对于每一个特征值，求解A的特征向量，并得到其几何重数；
3、若代数重数大于几何重数，则矩阵A不可相似对角化；
4、若代数重数等于几何重数，则可相似对角化，将所有特征向量作为列向量，即可构成相似变换矩阵P，并且可以使得P^-1AP为对角矩阵，对角元即为A的特征值（对应排列）。
3、相似对角阵的应用
1、求解方阵幂：（形如A^k，k数量级很大）
若矩阵A可以相似对角化为B，即P^-1AP=B，则有 A^k=P B^k P^-1；
2、应用于微分方程：（求解常系数线性微分方程组）
4、矩阵的约当标准型（Jordan）：
Jordan用于解决，如果矩阵不能够相似对角化，那么在相似变换下，其能够表示为的最简形式是什么。
简单矩阵：1、对角矩阵或分块矩阵；2、上三角矩阵或下三角矩阵；
定义1：称形如
的n阶方阵为Jordan块矩阵；其中的λ为实数或者复数（对角元上方元素全部是1）；
称形如
的对角块矩阵称为子Jordan矩阵。（由对角元相同的Jordan块构成的矩阵）
称形如
的对角块矩阵称为Jordan矩阵。（由对角元不同的Jordan块构成的矩阵）
定义2：若n阶方阵A相似于Jordan矩阵J，即存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=J，则称J为A的Jordan标准型。P为相似变换矩阵
当去除Jordan块的排列顺序后，Jordan矩阵J是被矩阵A唯一确定的。（集合重数等于Jordan矩阵中Jordan块的个数）
5、行列式因子、不变因子、初等因子
定义1：设A为n阶方阵，称矩阵A(λ)=λI-A，为A的特征矩阵。
定义2：在n阶方阵A的特征矩阵A(λ)=λI-A，中所有非零的k级子式的首项系数为1的最大公因式Dk(λ)称为A的k级行列式因子。
k级子式从方阵中任取k行与k列所形成矩阵；
1阶子式有两个： -1和λ-2； 2阶子式有两个：1和（λ-2）^2；
3阶子式有两个：-1和（λ-2）^3 4阶子式有一个：（λ-2）^4
由此可得D1(λ)=1、D2(λ)=1、D3(λ)=1、D1(λ)=（λ-2）^4；
定义3：设Dk(λ)，k为自然数，是A各级行列式因子，则称下列n个多项式
为A的不变因子；
由上式可得出不变因子为：d1(λ)=1；d2(λ)=λ-1；d3(λ)=（λ-1）^2；
定义4：初等变换，互换矩阵的两行（列）、非0常数k乘以矩阵的某行（列）、用多项式乘以矩阵的某行（列），然后加到另一行（列），此种变换为矩阵的初等变换。
定义5：将A的每一个不变因子在复数域分解为互不相的一次因式方幂的乘积，所有的这些一次因式方幂称为A的初等因子。
6、求解Jordan标准型思路
定理1：两个同阶的矩阵A和B相似的充要条件是，其具有相同的不变因子或初等因子。
定理2：任意一个方阵A，均可以相似于一个Jordan矩阵。
推论：方阵A可相似对角化的充要条件是其初等因子全是一次多项式。
7、方阵多项式
求解此类问题的方式：1、暴力求解；2、方阵相似化简；3、降低矩阵阶数；
一般相似化简为对角矩阵或者对角块矩阵，以此来简化计算；
Jordan矩阵的k次幂公式：
8、零化多项式
注：由此多项式定理，可以使一个次数高于n次的多项式转化为一个次数小于n的多项式。
最小多项式定义：设A为n阶矩阵，则A的首项系数为1的次数的零化多项式m(λ)称为A的最小多项式；
定理：矩阵A的任何零化多项式都可以被最小多项式整除；
定理：矩阵A的最小多项式是唯一的；
定理：相似矩阵具有相同的最小多项式；
9、几种因子的概念及其求解方式
k级行列式因子：在A(λ)中所有非0的k级子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式Dk(λ)称为k级行列式因子；
不变因子：d1=D1(λ)，d2=D2(λ)/D1(λ)，.....dn(λ)=Dn(λ)/Dn-1(λ)，这一组{dn}称之为不变因子；
初级因子：把所有不变因子分解成互不相同的一次因式的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按照出现次数计算）
称为A(λ)的初级因子；