编译原理笔记10：语言与文法，正规式转CFG，正规式和CFG，文法、语言与自动机
目录
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- 正规式，和 CFG
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- 正规式到 CFG 的转换：
- 正规式和 CFG 的关系
- 为毛不用 CFG 描述词法规则
- 贯穿词法、语法分析始终的思想
- 上下文有关文法 CSG
- 文法、语言与自动机
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- 0型文法：
- 1型文法：
- 2型文法：
- 3型文法：
- 为什么， CSG 叫 CSG？
对语言进行形式化描述的规则叫文法。
词法规则、语法规则都以形式化的方法对语言进行描述，这样的规则就叫文法。在使用 lex 的时候，我们就可以使用文法来简单地定义和修改语言。
前几篇笔记中我们比较细致地研究了正规式，当时我们用正规式来描述词法规则，然后根据正规式构造可以识别由该正规式表示的语言的自动机。
但其实，CFG 也是可以描述词法的。（但为什么不这么做呢？）
正规式，和 CFG
正规式所描述的语言结构都可以用 CFG 描述，反之不一定。
正规式和 CFG 是有关系的！NFA 是可以转化成 CFG 的！！一个 NFA 的状态和状态转移关系就对应一个产生式！！~~惊不惊喜？意不意外？？？~~至于为啥可以咱们暂且不论，先从这里往下看，后面时机成熟，自会解释。（先咕咕咕）
正规式到 CFG 的转换：
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构造正规式的 NFA；
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若 0 为初态，则 A0 为开始符号；
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对于 move(i, a) = j，引入产生式 Ai → aAj；
【从 i 状态经过标记为 a 的边转移到 j 状态。对于这样的状态转移关系，我们可以为其生成对应的产生式 Ai → aAj 】
**NFA 中的每个边，即每个状态转移都会生成一个对应的产生式。**我们在这里引入 Ai → aAj（这里的 a 是指经过的边），这样一来，我们就用这种方法将 NFA 中的状态以及状态转移关系变成了 CFG 中的产生式。
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对于 move(i, ε) = j，引入产生式 Ai → Aj；
为空转移生成与之对应的产生式。
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若 i 是终态，则引入产生式 Ai → ε（终态，对应的是空产生式）。
NFA 中有状态和状态间的转移，我们就可以把这些变成一个 CFG
【例】以正规式 r = ( a|b )*abb 的 NFA 构造 CFG。
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如果没有最后的 ε，那么无论怎么推导，在推导的下一步总会引入一个新的非终结符，永远得不到一个我们想要的句子。
通过这种方式转化出来的 CFG 也是一种“正规文法”（后续会讲到）
另外，我们也可以使用经验（脑补）的方法来将正规式转化成 CFG。对于上面的正规式 r，我们不难（？）写出：
A → HT
H → ε | Ha | Hb
T → abb
过程：
- 通过观察，我们发现正规式 (a|b)*abb 是可以分为明显的两部分的，即a或b的星闭包连接上abb。第一部分就是星闭包，第二部分就是abb。因此，我们在构造 CFG 的时候，也就可以一上来就把开始符号拆成两部分，即上面第一行的 H 和 T
- 我们用前面的非终结符 H 来生成正规式中前半部分的星闭包。a或b的星闭包，就是由a或b构成的长度>=0的一个ab串，于是我们就可以通过 H 本身不限次引入 a、b 来构造星闭包，具体就是第二行的产生式。产生式 H->ε 的作用有二，一是为了满足只有空串的情况，因为星闭包可以为空；二是用来结束 H 的产生式，只有有了 ε，我们才能够结束对 H 的构造，否则这个推导会一路无限递归下去。。。
- T 就是给 abb 准备的
万一，如果 H 是正闭包而不是星闭包，那么就可以改成：H→a|b|Ha|Hb
正规式和 CFG 的关系
我们都知道：如果 NFA 能够接受一个串，那就说明在这个 NFA 内部一定存在一条从初态到终态的路径，路径上的链接就是这个串本身。
而，从上面的转化规则和例子，我们可以确定：这样的一个串一定对应CFG里面的一个推导。
也就是说，NFA 中的一个路径一定对应着 CFG 中的一个推导。反过来讲，CFG 中任意一个推导也都对应着 NFA 中的一个路径。
因此，正规式与 CFG 之间是等价的！！
任意一个正规式所描述的语言，都可用 CFG 来描述。也就是说对任意一个正规式，我们都可以为他构造出来其相应的、和它描述的语言相同的集合的 CFG。
但反过来，就不一定了——并不是所有用 CFG 描述的语言都可以用正规式来描述
既然凡是正规式能描述的，都能用CFG描述，反之则不行。这就说明 CFG 的语言描述能力更强。
可，为什么还用正规式，而非 CFG 来描述词法呢？？？
为毛不用 CFG 描述词法规则
原因很简洁：对人好，对机器也好~~（它好我也好）~~。
对人好：正规式更直观简单，人容易理解。而正规式描述词法恰巧已经够用了（词法无非标识符、关键字、字面量之类，这些都是线性结构，使用正规式就能充分描述）；
对机器好：DFA 构造起来比用于 CFG 分析的下推自动机简单，效率更高。且使用两种不同方式来表示词法和语法，便于对两者进行区分，便于编译器前端的模块划分。
贯穿词法、语法分析始终的思想
- 语言的描述和识别，是表示一个语言的两个侧面，二者缺一不可；
- 一般而言，正规式适用于描述线性结构（标识符、关键字、注释等）；
- CFG 适用于描述具有嵌套（层次）性质的非线性结构，比如不同结构的句子 if-then-else、while-do 等；
- 用正规式和 CFG 描述的语言，对应的识别方法（自动机）不同。
上下文有关文法 CSG
CFG 很棒，但 CFG 文法本身，无法描述上下文有关的结构。
不能用 CFG 描述的语言：
上述的 L1、L2、L3 均是上下文有关的。
与上述 CSL 类似的 CFL
文法、语言与自动机
0型文法：
若文法 G=(N, T, P, S) 的每个产生式 α→β 中，均有 α∈(N∪T)*，且至少有一个非终结符，β∈(N∪T)* , 则称 0 型文法。
产生式两侧的表达式需要含终结符，且是 N、T 元素组成的串。
1型文法：
在 0 型文法的基础上，要求：对 G 的任何产生式 α→β（S → ε 除外），满足|α|≤|β|。
其实就是在 0 型的要求之上，要求产生式左侧表达式必须比右侧的短，也就是说这种语言不会越推越短，一定是越推越长的（毕竟总是要把产生式往产生式里面代入，如果被代入的东西变长了，那么一定就会随着推导的进行整个串都越来越长），而且可以一次性换掉带有终结符的非终结符序列。
2型文法：
在 0 型文法的基础上，要求：G 的任何产生式都要形如 A→β，有 A∈N，β∈(N∪T)* 。
这其实就是在说，产生式左侧必须是一个单独的非终结符，右侧还是和原来一样随便即可。
3型文法：
在 0 型文法的基础上，要求：G 的任何产生式都要形如【 A→ a 或 A → aB （或 A→Ba）】，其中A、B∈N，a∈T
注意啊，这里的【 A→ a 或 A → aB （或 A→Ba）】是指在 “A → a” 或 “ A → aB （或 A→Ba）”这俩里面二选一，而不是“A→ a”、“A → aB”、“A→Ba”之间三选一。意思是说，一个串如果想要填字母就只能往一边续。如果用 A → aB，那就是向右侧延伸，越续越长。选 A→Ba 那就是向左侧延伸，越续越长。
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任何一个1型文法，都是一个0型文法
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任何一个2型文法，都是一个1型文法，都是一个0型文法
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任何一个3型文法，都是一个2型文法，都是一个1型文法，都是一个0型文法。
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所有3型文法的集合，是2型文法集合的子集
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2型文法的集合，是1型文法集合的子集
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1型文法的集合，是0型文法集合的子集
为什么， CSG 叫 CSG？
CFG，左边只有一个非终结符。
CSG 因为左边可以有终结符（即，可以是一个文法符号序列），所以在对非终结符进行展开时，我们需要考虑这个非终结符的左边是什么、右边是什么，也就是说我们要考虑这个非终结符的（已经存在了的）上下文了，因此，叫做上下文有关。
而 CFG 的非终结符完全可以在任何地方随便展开，只需要考虑他自己单独一个非终结符就行了，所以叫上下文无关！