【SLAM14讲】04 三维空间刚体运动
一、坐标系之间的欧式变换
xW , yW , zW定义的世界坐标系，xC , yC , zC 定义的相机坐标系。
相机视野中某个向量 p，它的坐标为pc，而从世界坐标系下看，它的坐标 pw。
二、相机运动
相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化，这种变换称为欧氏变换。这样一个欧氏变换由一个旋转R和一个平移t两部分组成。
这里考虑旋转。我们设某个单位正交基 (e1, e2, e3) 经过一次旋转，变成了 (e ′ 1 , e ′ 2 , e ′ 3 )。它在两个坐标系下的坐标为 [a1, a2, a3] T 和 [a ′ 1 , a ′ 2 , a ′ 3 ] T。 根据坐标的定义，有：
- 矩阵R称为旋转矩阵，由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系，是一个行列式为 1 的正交矩阵。
- 旋转矩阵的逆（即转置）描述了一个相反的旋转
- 旋转矩阵的集合定义如下
SO(n) 是特殊正交群
这里的变换关系不是一个线性关系。假设我们进行了两次变换：R1, t1 和 R2, t2：
这样的形式在变换多次之后会过于复杂，于是重写：
- 把一个三维向量的末尾添加 1，变成了四维向量，称为齐次坐标。
对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成了线性关系。该式中，矩阵 T 称为变换矩阵（Transform Matrix）。用 a˜ 表示a的齐次坐标。
- 在齐次坐标中，某个点 x 的每个分量同乘一个非零常数 k 后，仍然表示的是同一个点。
因此，一个点的具体坐标值不是唯一的。如 [1, 1, 1, 1]T 和 [2, 2, 2, 2]T 是同一个点。但当最后 一项不为零时，我们总可以把所有坐标除以最后一项，强制最后一项为 1，从而得到一个 点唯一的坐标表示。
忽略掉最后一项，这个点的坐标和欧氏空间就是一样的。
经重写后：
变换矩阵 T，它具有比较特别的结构：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左 下角为 0 向量，右下角为 1。这种矩阵又称为特殊欧氏群。
解该矩阵的逆表示一个反向的变换：
三、旋转向量
任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量，称为旋转向量（或轴角）。旋转轴为 n，角度为 θ 的旋转,它对应的旋转向量为 θn。
旋转向量 --> 旋转矩阵的过程
由罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula ）:
旋转矩阵 --> 旋转向量的过程
转角：
由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，转轴 n：
转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量。
四、欧拉角
旋转矩阵、旋转向量，虽然它们能描述旋转，但对我们人类是非常不直观的。欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了三个分离的转角，把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。比如说，当我先绕 X 轴旋转， 再绕 Y 轴，最后绕 Z 轴，就得到了一个 XYZ 轴的旋转。
欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题（Gimbal Lock）：在俯仰角为 ±90◦ 时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转）。
五、四元数
复数集 C 表示复平面上的向量，而复数的乘法则能表示复平面上的旋转：例如，乘上复数 i 相当于逆时针把一个复向量旋转 90 度：
(a + bi)i = -b + ai 旋转90°
(a + bi)i*i 旋转180°
(a + bi)(
) 旋转45°
在表达三维空间旋转时，也有一种类似于复数的代数：四元数（Quaternion）。四元数是Hamilton 找到的一种扩展的复数. 它既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍为复杂一些。
5.1 四元数
一个四元数 q 拥有一个实部和三个虚部：
其中 i, j, k 为四元数的三个虚部。这三个虚部满足关系式：
用一个标量和一个向量来表达四元数：
s 称为四元数的实部，而 v 称为它的虚部。如果一个四元数虚部为 0，称之为实四元数。反之，若它的实部为 0，称之为虚四元数。
六、对比
1、旋转矩阵
- 自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为 1。
- SO(3) 的旋转矩阵有九个量，但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗 余的。
2、变换矩阵
- 自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为 1。
- SE(3) 的旋转矩阵有16个量，但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗 余的。
3、欧拉角和旋转向量是紧凑的，但具有奇异性。
4、四元数（Quaternion）它既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍为复杂一些。