Task Planine 计算几何 凸包

Task Planine

题意

给一座山脉的二维坐标系模型，以轮廓的坐标点来表示，求最少几个光源可以覆盖每一个山谷。

思路

有一些前置知识是，计算几何的基本函数编写，对凸包有一定的理解。

容易想到把所有的谷映射到h高度的一些区间，对区间做贪心的算法。

这里就是我用一个segs存所有区间的边界点，tag标志左右，id表示第几个区间，x表示位置。

int dcmp(double x) {
    if (fabs(x) < EPS) return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;
}

struct Seg {
    double x;
    int tag; // l:0, r:1
    int id;

    bool operator<(const Seg &r) const {
        if (dcmp(x - r.x) == 0) return tag < r.tag;
        return dcmp(x - r.x) < 0;
    }
};

Seg segs[MAXN];
int vis[MAXN]; // 0: unvis, 1: wip
int stk[MAXN], stk_top;

贪心的思路就是，每次枚举到右边界，就清算之前所有的左边界，记一次答案，并且标记为已经点亮。

{
	int ans = 0;

    for (int i = 1; i <= segs_cnt; ++i) {
        const Seg &s = segs[i];
        if (s.tag == 0) {
            stk[++stk_top] = s.id;
        } else {
            if (vis[s.id]) continue;
            ans++;
            while (stk_top) {
                vis[stk[stk_top--]] = 1;
            }
        }
    }
}

下面的问题就是如何投射这些区间。

通过观察一些比较极端的样例，可以发现，所有的区间夹角都在相邻的凸包边上。随着上凸包的不断更新，在对应的点就可以找到边界无遮挡的射线。

下面的唯一的难点就在于一边计算上图包，一边计算每个谷投射区间边界的射线。

{
	hull[1] = p[1];
    hull[2] = p[2];
    hull_cnt = 2;

    int segs_cnt = 0;
    for (int j = 3; j < n; j++) {
        while (hull_cnt > 2 && Cross(hull[hull_cnt] - hull[hull_cnt - 1], p[j] - hull[hull_cnt - 1]) > 0)
            hull_cnt--;

        hull[++hull_cnt] = p[j];

        if (1 < j && j < n && j % 2 == 1) {
            double x = getx(hull[hull_cnt - 1], hull[hull_cnt], h);
            segs[++segs_cnt] = {x, 0, j / 2};
        }
    }
}

对凸包有理解话，实际上和凸包有关的核心代码只有那个while，我使用的是Graham扫描的算法原理。这个while在不断的维护顺时针的上凸包。这片代码在插入所有谷投射的左边界。

下一个for是在求右边界，但是因为顺序是反着的，代码顺序有一些细节，先学过凸包可以慢慢推理。

完整代码

/**
  *    █████╗  ██████╗       ██████╗ ██╗     ███████╗
  *   ██╔══██╗██╔════╝       ██╔══██╗██║     ╚══███╔╝
  *   ███████║██║            ██████╔╝██║       ███╔╝
  *   ██╔══██║██║            ██╔═══╝ ██║      ███╔╝
  *   ██║  ██║╚██████╗▄█╗    ██║     ███████╗███████╗
  *   ╚═╝  ╚═╝ ╚═════╝╚═╝    ╚═╝     ╚══════╝╚══════╝
  *
  *  @Author: TieWay59
  *  @Created: 2021/3/20 19:48
  *  @Link: http://10.7.95.2/CLanguage/contests/1181/problems/1010.html
  *  @Tags:
  *
  *******************************************************/

#include 

#ifdef DEBUG

#   include "libs59/debugers.h"
//  #define debug(x)  cerr <<#x << " = "<
#else
#   define endl '\n'
#   define debug(...)
#   define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#   define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
#endif

#define STOPSYNC ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr)
#define MULTIKASE int Kase=0;cin>>Kase;for(int kase=1;kase<=Kase;kase++)
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e6 + 59;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3F3F3F3F;
const ll llINF = 0x3F3F3F3F3F3F3F3F;
using namespace std;
using pii = pair<int, int>;
using vint = vector<int>;
const double EPS = 1e-8;

int dcmp(double x) {
    if (fabs(x) < EPS) return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;
}

struct Point {
    double x, y;
};

Point p[MAXN];
Point hull[MAXN];
int hull_cnt;

inline double Cross(Point a, Point b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

inline Point operator-(Point a, Point b) {
    return Point{a.x - b.x, a.y - b.y};
}

double getx(const Point &a, const Point &b, double h) {
    return (h - a.y) / (b.y - a.y) * (b.x - a.x) + a.x;
}

struct Seg {
    double x;
    int tag; // l:0, r:1
    int id;

    bool operator<(const Seg &r) const {
        if (dcmp(x - r.x) == 0) return tag < r.tag;
        return dcmp(x - r.x) < 0;
    }
};

Seg segs[MAXN];
int vis[MAXN]; // 0: unvis, 1: wip
int stk[MAXN], stk_top;

void solve(int kaseId = -1) {
    int n, h; // n is odd

    cin >> n >> h;

    for (int i = 1, x, y; i <= n; ++i) {
        cin >> x >> y;
        p[i] = {double(x), double(y)};
    }

    if (n == 3) {
        cout << 0 << endl;
        return;
    }
    
    hull[1] = p[1];
    hull[2] = p[2];
    hull_cnt = 2;

    int segs_cnt = 0;
    for (int j = 3; j < n; j++) {
        while (hull_cnt > 2 && Cross(hull[hull_cnt] - hull[hull_cnt - 1], p[j] - hull[hull_cnt - 1]) > 0)
            hull_cnt--;

        hull[++hull_cnt] = p[j];

        if (1 < j && j < n && j % 2 == 1) {
            double x = getx(hull[hull_cnt - 1], hull[hull_cnt], h);
            segs[++segs_cnt] = {x, 0, j / 2};
        }
    }

    hull[1] = p[n];
    hull[2] = p[n - 1];
    hull_cnt = 2;

    for (int j = n - 2; j > 1; j--) {
        while (hull_cnt > 2 && Cross(hull[hull_cnt - 1] - p[j], hull[hull_cnt - 1] - hull[hull_cnt]) > 0)
            hull_cnt--;

        hull[++hull_cnt] = p[j];

        if (1 < j && j < n && j % 2 == 1) {
            double x = getx(hull[hull_cnt - 1], hull[hull_cnt], h);
            segs[++segs_cnt] = {x, 1, j / 2};
        }
    }
    
    sort(segs + 1, segs + 1 + segs_cnt);

    int ans = 0;

    for (int i = 1; i <= segs_cnt; ++i) {
        const Seg &s = segs[i];
        if (s.tag == 0) {
            stk[++stk_top] = s.id;
        } else {
            if (vis[s.id]) continue;
            ans++;
            while (stk_top) {
                vis[stk[stk_top--]] = 1;
            }
        }
    }

    cout << ans << endl;
}

void solves() {
    MULTIKASE {
        solve(kase);
    }
}

int main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("input.txt", "r+", stdin);
#endif
    STOPSYNC;
    solve();
    return 0;
}
/*

 */