AcWing 853 有边数限制的最短路

题目描述：

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，k。

接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示点x和点y之间存在一条有向边，边长为z。

输出格式

输出一个整数，表示从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出“impossible”。

数据范围

1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
任意边长的绝对值不超过10000。

输入样例：

3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3

输出样例：

3

分析：

图中存在负权边，且有边数限制，用Bellman-Ford算法，时间复杂度为O（mn）。

Bellman_Ford算法的具体思路就是逐个松弛途中所有的边，最多松弛n-1次即可求出1到n点的最短路径。

以上图为例：初始所有点的距离设为INF，d[A]=0,然后遍历每条边执行松弛操作，d[B]=1,d[C]=5,其它点的距离未松弛成功；继续第二轮，成功执行松弛的有d[D]=3,d[E]=2;第三轮：d[c]=4,d[G]=4,d[F]=5,后面几轮未能松弛，故最短路径d[F] = 5。本题要求最短路径不超过k条边，所以这里每轮的松弛操作不能发生串联操作。按照之前的描述可以看出，第一次松弛仅仅更新了离A相距一条边以内的点的距离，第二轮只会更新离A不超过两条边的点的距离，所以第k轮只会更新离A不超过k条边距离的点，倘若此时d[F]依旧为INF，说明无法在k条边以内到达终点。本题是对最短路径加上了k条边限制，所以第一轮松弛操作尽管更新了B、C的距离，但是在更新BD，BE两条边时依旧不能使用刚更新的B的距离，而是要使用d[B] = INF，上一轮的距离，否则第一轮松弛就会更新到层次为2的D点，不能确保每一轮松弛操作仅向外扩展一个层次，这个过程有点类似于BFS操作。当然，倘若没有k条边限制，这种串联现象可以出现，还会提高速度，更快的松弛更多的边。为什么该算法能够处理负权边，因为dijkstra每个被加入点集的点的最短距离都已经确定了，如果有负权边还会回过头来更新点集的点，引起错误，而Bellman-Ford算法没有这个设定，每轮松弛操作会尝试松弛所有点的距离，不到最后一轮，每个点的距离都有可能变得更小。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 10005;
int d[505],b[505];
struct Node{
    int x,y,w;
}edge[maxn];
int n,m,k;
int bellman_ford(){
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    d[1] = 0;
    for(int i = 0;i < k;i++){
        memcpy(b,d,sizeof b);//备份,防止串联，没有k条边限制可去掉
        for(int j = 0;j < m;j++){
            auto e = edge[j];
            d[e.y] = min(d[e.y],b[e.x] + e.w);//松弛
        }
    }
    if(d[n] > 0x3f3f3f3f / 2)   return -1;//防止负权边更新无穷大
    return d[n];
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    int x,y,w;
    for(int i = 0;i < m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        edge[i] = {x,y,w};
    }
    if(bellman_ford() == -1)    cout<<"impossible"<