1-1 基于matlab的平面曲线曲率的数值计算

1-1 基于matlab的平面曲线曲率的数值计算

1. 工具

   向量函数：设曲线$r(s)=(x(s),y(s))$是一条正则曲线，其中$s$是弧长参数。$r(s)$是以向量形式表示的，所以称为向量函数。

2. 曲率公式

   • 给定函数为向量函数$r(s)=(x(s),y(s))$形式：
     曲率的计算公式为：$$k=|r^{\prime \prime }(s)|\text{\hspace{1em}(1)}$$ 注意 : 当 给定函数$r(t)=(x(t),y(t))$参数不是弧长参数时我们需要计算函数的弧长参数，才能进行下一步计算。其中弧长参数计算方法为计算弧微分$s={\int }_0^t|r^{\prime \prime }(u)|du$.
   • 给定函数为$y=f(x)$形式：
     曲率$$k=\frac{|f^{\prime \prime }(x)|}{{\sqrt{(1+f^{\prime 2})}}^{(\frac{3}{2})}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

3. matlab程序实现

   1.计算圆$r(t)=(2cost,2sint)，t\in (0,2\pi )$的曲率
   解: 由公式$(1)$计算曲率时发现参数不是弧长参数，所以我们要计算弧微分 $s={\int }_0^t|r^{\prime \prime }(u)|du$
   于是 $s={\int }_0^{t}2du=2t$
   从而转换成计算$r(t)=(2cos\frac{s}{2},2sin\frac{s}{2})，s\in (0,4\pi )的曲率$
   MATLAB程序：

clc,clear
h=0.01;                        %步长
s=0:h:4*pi;
x=2*cos(s./2);y=2*sin(s./2);   %定义x，y
r=[x,y];                       %定义向量函数
r1=diff(r)./h;                 %一阶导
r2=diff(r1)./h;                %二阶导
k=r2;
for i=1:length(r2)
    k(i)=norm(r2(i));
end

2. 计算$y=sinx,x\in (0,\pi )$的曲率
   由公式$(2)$$k=\frac{|sinx|}{{\sqrt{(1+cos{x}^2)}}^{(\frac{3}{2})}}$
   MATLAB程序：

clc,clear
h=0.01;                        %步长
x=0:h:pi;
y=sin(x);                      %定义x，y
y1=diff(y)./h;                 %一阶导
y2=diff(y1)./h;                %二阶导
y2(length(y1))=y2(end);        %二阶导右端点用向后差商代替，否则会有维度不一致情况
k=abs(y2)./(sqrt(1+y1.^2).^(3/2));