第三章，矩阵，08-矩阵的秩及相关性质

玩转线性代数(20)矩阵的秩的笔记，相关证明以及例子见原文

秩的定义1

设矩阵$A_{m\ast n}$，称其标准形中单位矩阵子块的阶数为矩阵A的秩，记为$R(A)$

最高阶非零子式

设在矩阵A中有一个r阶子式$D\ne 0$，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。

定理

设$A^r\sim B$，则A与B中最高阶非零子式的阶数相等

秩的定义2

由定理得定义2:一个矩阵的秩为它的最高阶非零子式的阶数

秩的性质

首先要了解判断矩阵的秩的依据有三点：
1、矩阵的秩为最高阶非零子式的阶数;
2、矩阵的秩为行阶梯的非零行数或列阶梯的非零列数或标准形中单位矩阵的阶数；
3、初等变换不改变矩阵的秩．

性质1

零矩阵的秩是零

性质2

若$A\ne 0$则$R(A)\ge 1$

性质3

若A为m*n矩阵，则$0\ge R(A)\ge min\{m,n\}$

性质4

若$A=\left(\begin{array}{cc}B& \ast \\ \ast & \ast \end{array}\right)$是一个分块矩阵，B是A的子块，则$R(A)\ge R(B)$

性质5

若$A_{m\ast n}$中有一个s阶非零子式，则$R(A)\ge s$；若$A_{m\ast n}$中所有t阶子式都为0，则$R(A)<t$

性质6

对任意矩阵A，有$R(A^T)=R(A)$

性质7

$\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)$是一个分块矩阵，A、B是其子块，则$R\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=R(A)+R(B)$

性质8

$\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ B& 0\end{array}\right)$是一个分块矩阵，A、B是其子块，则$R\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ B& 0\end{array}\right)\le R(A)+R(B)$

性质9

对任意m*n矩阵A，B，无论对其进行加、减、横排、竖排，其秩均不超过$R(A)+R(B)$

性质10

分块矩阵$(A,B)$、$\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ B& 0\end{array}\right)$的秩都满足$\ge max(R(A),R(B))$

性质11

若$A\sim B$则$R(A)=R(B)$

性质12

若$A_{mn}{B}_{nl}=C$且$R(A)=n$，则$R(B)=R(C)$，可得若B行满秩，则$R(A)=R(C)$
证：
只证明列满秩的情况，因$R(A)=n$，知A行最简形矩阵为${\left(\begin{array}{c}{E}_n\\ O\end{array}\right)}_{m\ast n}$，并且有m阶可逆矩阵P，使$PA=\left(\begin{array}{c}{E}_n\\ O\end{array}\right)$，于是
$$PC=PAB=\left(\begin{array}{c}{E}_n\\ O\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)$$
知$R(C)=R(PC)$，而$R\left(\begin{array}{c}B\\ O\end{array}\right)=R(B)$，故
$$R(C)=R(B)$$
本例中的A为列满秩矩阵，当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵。因此，本例的结论当A为方阵时B和C就是等价关系，当然秩相等。

性质12的推论

若$A_{mn}{B}_{nl}=O$，且$R(A)=n$，则B=O（矩阵乘法的消去律）